(Ex3, III.6, pg154) Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo dado, da chapa D com a densidade pontual de massa dada:
a) D é o quadrado de vértices (0,0),(a, 0),(a, a) e (0, a); o eixo é O y e a densidade é constante.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma chapa retangular D=[0,a]\times[0,a] em relação ao eixo Oy, com densidade pontual de massa constante \rho. Vamos usar a definição de momento de inércia para um eixo fixo, que em coordenadas cartesianas é
I_{y}=\iint_{D}x^{2}\,\rho\,dA.

Passo 2

Como \rho é constante, ela sai da integral. O diferencial de área é dA=dx\,dy. Assim
I_{y} =\rho\iint_{D}x^{2}\,dx\,dy =\rho\int_{x=0}^{a}\!\!\int_{y=0}^{a}x^{2}\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em y, tratando x como constante:
\int_{y=0}^{a}x^{2}\,dy =x^{2}\Bigl[y\Bigr]_{0}^{a} =x^{2}a.

Passo 4

Agora integramos em x:
I_{y} =\rho\int_{0}^{a}x^{2}a\,dx =\rho\,a\int_{0}^{a}x^{2}\,dx =\rho\,a\cdot\frac{a^{3}}{3} =\frac{\rho\,a^{4}}{3}.

Passo 5

Sejam M a massa total da chapa, temos M=\rho\cdot\text{área}=\rho\,a^{2}á. Substituindo,
I_{y} =\frac{\rho\,a^{4}}{3} =\frac{M\,a^{2}}{3}.

Resposta

I_{y} =\frac{\rho\,a^{4}}{3} \quad\text{ou}\quad I_{y}=\frac{M\,a^{2}}{3}.

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