Um exame padrão de inteligência tem sido usado por vários anos com média de 80 pontos e desvio padrão de 7 pontos. Um grupo de 25 estudantes é ensinado, dandose ênfase à resolução do teste. Se esse grupo obtém média de 83 pontos no exame, há razões para se acreditar que a ênfase dada mudou o resultado do teste ao nível de
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
-
Dados fornecidos:
- média histórica (hipotética) do exame:
. - desvio padrão conhecido da população:
. - tamanho da amostra:
. - média observada na amostra:
. - nível de significância pedido:
.
- média histórica (hipotética) do exame:
-
Pergunta do enunciado:
- Há razões, ao nível de
, para acreditar que a ênfase dada mudou o resultado do teste? - Em outras palavras: a média verdadeira do grupo difere de
?
- Há razões, ao nível de
Passo 2
Definição clara das hipóteses (o enunciado quer saber se houve mudança, então é teste bilateral):
Explicação breve do que cada símbolo significa:
-
é a média verdadeira dos estudantes após a ênfase. -
é a hipótese nula (nenhuma mudança). -
é a hipótese alternativa (houve mudança: pode ser para cima ou para baixo).
Passo 3
Escolha da estatística de teste e fórmula (motivo: o desvio padrão da população
é conhecido):
Usa-se a estatística definida por
Usa-se a estatística
Explicando cada termo:
-
é a média amostral observada. -
é a média sob . -
é o erro padrão da média quando é conhecido; é a raiz quadrada do número de observações.
Passo 4
Calcular o erro padrão
:
Pequena explicação:
; dividir 7 por 5 dá
.
Passo 5
Calcular a estatística
:
Arredondando para três casas decimais:
.
Passo 6
Determinar a regra de rejeição pelo valor crítico:
- Para um teste bilateral com nível
, o valor crítico da normal padrão é
Regra: rejeita-se
se
.
Comparação:
logo pelos valores críticos rejeitamos
ao nível de
.
Passo 7
Cálculo do p‑valor (para interpretar a força da evidência):
O p‑valor para o teste bilateral é
O p‑valor para o teste bilateral é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Estimando
. Usando tabela/interpolações da normal:
Portanto
e
Interpretação: o p‑valor é cerca de
, menor que
, o que confirma a rejeição de
.
Passo 8
Interpretação prática e comentário final (motivação tipo “o que isso significa na prova”):
- Rejeitar
significa que há evidência estatística suficiente, ao nível de , de que a média dos estudantes após a ênfase é diferente de . - A média observada subiu para
, e o teste indica que essa diferença (3 pontos) é improvável de ocorrer por acaso dado e . - Observação útil para a prova: quando
é conhecido usa-se ; se fosse desconhecido e pequeno, usar‑se‑ia com graus de liberdade.
Resposta
Sim. Rejeita‑se
ao nível de
;
e p‑valor
.