Um exame padrão de inteligência tem sido usado por vários anos com média de 80 pontos e desvio padrão de 7 pontos. Um grupo de 25 estudantes é ensinado, dandose ênfase à resolução do teste. Se esse grupo obtém média de 83 pontos no exame, há razões para se acreditar que a ênfase dada mudou o resultado do teste ao nível de 5 \% ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
  • Dados fornecidos:
    • média histórica (hipotética) do exame: \mu_0 = 80.
    • desvio padrão conhecido da população: \sigma = 7.
    • tamanho da amostra: n = 25.
    • média observada na amostra: \bar{X} = 83.
    • nível de significância pedido: \alpha = 5\% = 0{,}05.
  • Pergunta do enunciado:
    • Há razões, ao nível de 5\%, para acreditar que a ênfase dada mudou o resultado do teste?
    • Em outras palavras: a média verdadeira do grupo difere de 80?

Passo 2

Definição clara das hipóteses (o enunciado quer saber se houve mudança, então é teste bilateral):
H_0:\\ \mu = 80
H_1:\\ \mu \neq 80
Explicação breve do que cada símbolo significa:
  • \mu é a média verdadeira dos estudantes após a ênfase.
  • H_0 é a hipótese nula (nenhuma mudança).
  • H_1 é a hipótese alternativa (houve mudança: pode ser para cima ou para baixo).

Passo 3

Escolha da estatística de teste e fórmula (motivo: o desvio padrão da população \sigma é conhecido):
Usa-se a estatística z definida por
z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicando cada termo:
  • \bar{X} é a média amostral observada.
  • \mu_0 é a média sob H_0.
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média quando \sigma é conhecido; \sqrt{n} é a raiz quadrada do número de observações.

Passo 4

Calcular o erro padrão \sigma/\sqrt{n}:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{7}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5} = 1{,}4.
Pequena explicação: \sqrt{25}=5; dividir 7 por 5 dá 1{,}4.

Passo 5

Calcular a estatística z:
z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{83-80}{1{,}4} = \frac{3}{1{,}4} \approx 2{,}142857\ldots
Arredondando para três casas decimais: z \approx 2{,}143.

Passo 6

Determinar a regra de rejeição pelo valor crítico:
  • Para um teste bilateral com nível \alpha = 0{,}05, o valor crítico da normal padrão é
z_{1-\alpha/2} = z_{0{,}975} \approx 1{,}96.
Regra: rejeita-se H_0 se |z| > 1{,}96.
Comparação:
|z| \approx 2{,}143 > 1{,}96,
logo pelos valores críticos rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.

Passo 7

Cálculo do p‑valor (para interpretar a força da evidência):
O p‑valor para o teste bilateral é
\text{p‑valor} = 2\bigl(1-\Phi(|z|)\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Estimando \Phi(2{,}142857). Usando tabela/interpolações da normal:
\Phi(2{,}142857) \approx 0{,}9839.
Portanto
1-\Phi(|z|) \approx 0{,}0161
e
\text{p‑valor} \approx 2 \times 0{,}0161 = 0{,}0322 \approx 0{,}032.
Interpretação: o p‑valor é cerca de 3{,}2\%, menor que 5\%, o que confirma a rejeição de H_0.

Passo 8

Interpretação prática e comentário final (motivação tipo “o que isso significa na prova”):
  • Rejeitar H_0 significa que há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, de que a média dos estudantes após a ênfase é diferente de 80.
  • A média observada subiu para 83, e o teste indica que essa diferença (3 pontos) é improvável de ocorrer por acaso dado \sigma=7 e n=25.
  • Observação útil para a prova: quando \sigma é conhecido usa-se z; se \sigma fosse desconhecido e n pequeno, usar‑se‑ia t com n-1 graus de liberdade.

Resposta

Sim. Rejeita‑se H_0 ao nível de 5\%; z\approx 2{,}143 e p‑valor \approx 0{,}032.

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