Suponha que numa pesquisa de mercado estima-se que no mínimo
das pessoas entrevistadas preferirão um produto Y. Essa informação é baseada em pesquisas anteriores. Se quisermos que o erro amostral de
seja menor do que
, com probabilidade
, qual o valor de n ?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que nos dão:
- Pede-se o tamanho da amostra
de forma que o erro amostral de seja menor que com probabilidade . - Informação adicional: estima-se que no mínimo
das pessoas preferirão o produto Y (pegamos essa informação do enunciado). - Dados recolhidos do enunciado (todos em notação matemática):
-
. -
. - informação prévia:
(estima-se pelo menos ).
-
Passo 2
Modelo estatístico e ideia da aproximação (passo-a-passo e didático).
- A variável que indica se uma pessoa prefere o produto Y é uma variável de Bernoulli com parâmetro
(onde é a proporção verdadeira da população que prefere Y). Cada entrevistado tem valor se prefere Y e caso contrário. - A estimativa de proporção pela amostra é
, a proporção amostral. Para uma amostra aleatória de tamanho , Aqui é a esperança (média) de e é a variância. - Pelo Teorema Central do Limite (TCL), para
grande é aproximadamente normal com média e desvio padrão . Isso permite construir um intervalo de confiança aproximado baseado na normal padrão.
Passo 3
Fórmula do erro e quantil da normal para o nível de confiança.
- Para um nível de confiança
(aqui ) usamos e o quantil da normal padrão. Aqui , então precisamos de . - O erro máximo (metade do comprimento do intervalo de confiança) aproximado é
Nesta fórmula: -
é o erro amostral desejado ( no problema), -
é o quantil da normal padrão (número tal que a área central é ), -
é a proporção verdadeira (desconhecida), -
é o tamanho da amostra que queremos achar.
-
- O valor numérico do quantil (tabela da normal ou calculadora) é aproximadamente
Passo 4
Isolando
na fórmula (dedução algébrica clara).
- Partindo de
elevamos ao quadrado e isolamos : - Aqui cada símbolo significa:
-
: tamanho da amostra que queremos, -
: quantil da normal padrão (aqui ), -
: variância da Bernoulli dividida por multiplicada por , -
: quadrado do erro tolerado.
-
Passo 5
Escolha do valor de
a usar no cálculo — explicação conceitual e decisão prática.
- Temos duas atitudes possíveis:
- Usar a informação prévia (estima-se pelo menos
) e calcular tomando . Isso reduz porque fica menor do que no caso . Porém, isso assume que a verdade está perto de ; se a verdadeira for bem maior (por exemplo ), então a variância real seria maior e o erro pode não ficar abaixo de . - Fazer o cálculo conservador “sem informação” usando
. Isto porque atinge seu máximo em , então esse escolha garante que, independentemente do real, o tamanho de amostra é suficiente para o nível de erro e confiança desejados.
- Usar a informação prévia (estima-se pelo menos
- Como o enunciado afirma explicitamente uma estimativa anterior de pelo menos
, vou apresentar os dois resultados: o que se obtém usando a estimativa (aplicação direta da informação) e o resultado conservador usando . Vou também explicar qual é a opção mais segura para a prova (geralmente usar se quiser garantir o erro para qualquer ).
Passo 6
Cálculo numérico usando
(usando a informação prévia).
- Substituindo na fórmula:
Portanto - Usando
, tem-se logo - Como
precisa ser inteiro e devemos garantir o erro (nunca ficar abaixo), arredondamos para cima:
Passo 7
Cálculo conservador usando
(máxima variância).
- Se escolhermos
(caso mais conservador), - Com
, e arredondando para cima: - Comentário prático:
garante que, para qualquer (inclusive p próximo de 0,5), o erro ficará abaixo de com probabilidade aproximada . O valor usa a informação prévia e é menor — mas não protege contra o caso de real estar bem maior.
Resposta
Usando
(apoiando-se na estimativa prévia):
Conservador (sem usar a estimativa, ):
Conservador (sem usar a estimativa,