Suponha que numa pesquisa de mercado estima-se que no mínimo 20 \% das pessoas entrevistadas preferirão um produto Y. Essa informação é baseada em pesquisas anteriores. Se quisermos que o erro amostral de \hat{p} seja menor do que \varepsilon=0,02, com probabilidade \gamma=0,99, qual o valor de n ?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que nos dão:
  • Pede-se o tamanho da amostra n de forma que o erro amostral de \hat{p} seja menor que \varepsilon=0,02 com probabilidade \gamma=0,99.
  • Informação adicional: estima-se que no mínimo 20\% das pessoas preferirão o produto Y (pegamos essa informação do enunciado).
  • Dados recolhidos do enunciado (todos em notação matemática):
    • \varepsilon=0,02.
    • \gamma=0,99.
    • informação prévia: \,p\ge 0,2 (estima-se pelo menos 20\%).

Passo 2

Modelo estatístico e ideia da aproximação (passo-a-passo e didático).
  • A variável que indica se uma pessoa prefere o produto Y é uma variável de Bernoulli com parâmetro p (onde p é a proporção verdadeira da população que prefere Y). Cada entrevistado tem valor 1 se prefere Y e 0 caso contrário.
  • A estimativa de proporção pela amostra é \hat{p}, a proporção amostral. Para uma amostra aleatória de tamanho n, \mathbb{E}(\hat{p})=p, \qquad \operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}.Aqui \mathbb{E}(\hat{p}) é a esperança (média) de \hat{p} e \operatorname{Var}(\hat{p}) é a variância.
  • Pelo Teorema Central do Limite (TCL), para n grande \hat{p} é aproximadamente normal com média p e desvio padrão \sqrt{p(1-p)/n}. Isso permite construir um intervalo de confiança aproximado baseado na normal padrão.

Passo 3

Fórmula do erro e quantil da normal para o nível de confiança.
  • Para um nível de confiança \gamma (aqui \gamma=0,99) usamos \alpha=1-\gamma e o quantil \,z_{1-\alpha/2} da normal padrão. Aqui \alpha=0,01, então precisamos de z_{1-0,01/2}=z_{0,995}.
  • O erro máximo (metade do comprimento do intervalo de confiança) aproximado é \varepsilon \approx z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.Nesta fórmula:
    • \varepsilon é o erro amostral desejado ( 0,02 no problema),
    • z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão (número tal que a área central é \gamma),
    • p é a proporção verdadeira (desconhecida),
    • n é o tamanho da amostra que queremos achar.
  • O valor numérico do quantil (tabela da normal ou calculadora) é aproximadamente z_{0,995}\approx2,576.

Passo 4

Isolando n na fórmula (dedução algébrica clara).
  • Partindo de \varepsilon = z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},elevamos ao quadrado e isolamos n: \varepsilon^{2} = z_{1-\alpha/2}^{2}\,\frac{p(1-p)}{n} \qquad\Rightarrow\qquad n = \frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{\varepsilon^{2}}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • n: tamanho da amostra que queremos,
    • z_{1-\alpha/2}: quantil da normal padrão (aqui \approx2,576),
    • p(1-p): variância da Bernoulli dividida por n multiplicada por n,
    • \varepsilon^{2}: quadrado do erro tolerado.

Passo 5

Escolha do valor de p a usar no cálculo — explicação conceitual e decisão prática.
  • Temos duas atitudes possíveis:
    1. Usar a informação prévia (estima-se pelo menos 20\%) e calcular n tomando p=0,2. Isso reduz n porque p(1-p) fica menor do que no caso p=0,5. Porém, isso assume que a verdade está perto de 0,2; se a verdadeira p for bem maior (por exemplo 0,5), então a variância real seria maior e o erro pode não ficar abaixo de 0,02.
    2. Fazer o cálculo conservador “sem informação” usando p=0,5. Isto porque p(1-p) atinge seu máximo em p=0,5, então esse escolha garante que, independentemente do p real, o tamanho de amostra é suficiente para o nível de erro e confiança desejados.
  • Como o enunciado afirma explicitamente uma estimativa anterior de pelo menos 20\%, vou apresentar os dois resultados: o que se obtém usando a estimativa p=0,2 (aplicação direta da informação) e o resultado conservador usando p=0,5. Vou também explicar qual é a opção mais segura para a prova (geralmente usar p=0,5 se quiser garantir o erro para qualquer p).

Passo 6

Cálculo numérico usando p=0,2 (usando a informação prévia).
  • Substituindo na fórmula: p(1-p)=0,2\cdot0,8=0,16, \qquad \varepsilon^{2}=(0,02)^{2}=0,0004.Portanto n=\frac{z_{0,995}^{2}\cdot0,16}{0,0004}=\;z_{0,995}^{2}\cdot400.
  • Usando z_{0,995}\approx2,576, tem-se z_{0,995}^{2}\approx(2,576)^{2}\approx6,635,logo n\approx6,635\cdot400\approx2654.
  • Como n precisa ser inteiro e devemos garantir o erro (nunca ficar abaixo), arredondamos para cima: n=2654.

Passo 7

Cálculo conservador usando p=0,5 (máxima variância).
  • Se escolhermos p=0,5 (caso mais conservador), p(1-p)=0,5\cdot0,5=0,25, \qquad n=\frac{z_{0,995}^{2}\cdot0,25}{0,0004}=z_{0,995}^{2}\cdot625.
  • Com z_{0,995}^{2}\approx6,635, n\approx6,635\cdot625\approx4146{,}9,e arredondando para cima: n=4147.
  • Comentário prático: n=4147 garante que, para qualquer p (inclusive p próximo de 0,5), o erro ficará abaixo de 0,02 com probabilidade aproximada 0,99. O valor n=2654 usa a informação prévia p\approx0,2 e é menor — mas não protege contra o caso de p real estar bem maior.

Resposta

Usando p=0,2 (apoiando-se na estimativa prévia): n=2654
Conservador (sem usar a estimativa, p=0,5): n=4147

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