Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros por 100 km , com desvio padrão de 0,8 litro. Uma revista decide testar essa afirmação e analisa 35 carros dessa marca, obtendo 11,4 litros por 100 km , como consumo médio. Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, ao nível de 5 \%, o que a revista concluirá sobre o anuncio da fábrica?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma conclusão estatística ao nível de 5\%:
  • A fábrica afirma que o consumo médio é \mu_0=11 litros por 100 km.
  • O desvio padrão populacional é conhecido: \sigma=0,8 litro.
  • A revista amostrou n=35 carros e obteve média amostral \bar{X}=11,4 litros por 100 km.
  • Pressupõe-se que o consumo segue distribuição normal.
    A pergunta é: ao nível de significância \alpha=5\%, o que a revista concluirá sobre o anúncio da fábrica (isto é, há evidência de que a média verdadeira difere de 11 L/100 km)?

Passo 2

Escolha do teste e formulação das hipóteses (explicação didática):
  • Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e a variável é normal, o teste natural para a média é o teste-z (teste para média com \sigma conhecido). Isso porque a estatística padronizada tem distribuição normal padrão sob a hipótese nula.
  • As hipóteses que testamos são:
H_0:\\ \mu = 11
H_a:\\ \mu \neq 11
ou seja, um teste bilateral (a revista quer verificar se a média é diferente do que a fábrica anunciou). Se quiséssemos testar só se o consumo é maior, usaríamos H_a:\\ \mu>11; aqui adotamos o bilateral por ser a formulação padrão ao questionar um anúncio de média.

Passo 3

Fórmula da estatística de teste e definição das variáveis (explicação didática):
  • A estatística z é dada por
z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{X} é a média da amostra ( 11,4 no problema).
  • \mu_0 é o valor da média sob H_0 (aqui 11).
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido ( 0,8).
  • n é o tamanho da amostra ( 35).
  • Sob H_0, z segue aproximadamente a distribuição normal padrão N(0,1).
  • Nível de significância: \alpha=0,05. Para um teste bilateral, os valores críticos são os quantis de N(0,1) que deixam 2{,}5\% em cada cauda, ou seja z_{\alpha/2}=\pm 1{,}96. Alternativamente podemos calcular o p-valor e compará-lo com \alpha.

Passo 4

Cálculo do erro padrão e da estatística z (contas passo a passo):
  • Primeiro o erro padrão da média:
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,8}{\sqrt{35}}.ã
Calculemos \sqrt{35}:
\sqrt{35}\approx 5{,}91608.
Então
\frac{0,8}{\sqrt{35}}\approx \frac{0,8}{5{,}91608}\approx 0{,}1352.
  • Agora a estatística z:
z=\frac{11,4-11}{0,1352}=\frac{0,4}{0,1352}\approx 2{,}96.
(Arredondei para duas casas decimais em z.)

Passo 5

Decisão pelo método do valor crítico e pelo p-valor (explicação didática):
  • Método do valor crítico: para \alpha=0{,}05 bilateral, rejeitamos H_0 se |z|>1{,}96. Aqui |z|\approx 2{,}96>1{,}96, portanto rejeitamos H_0.
  • Cálculo do p-valor (opcional, confirma a decisão): o p-valor bilateral é
p=2\left(1-\Phi(|z|)\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Para z\approx 2{,}96, a cauda superior 1-\Phi(2{,}96) é aproximadamente 0{,}0015. Logo
p\approx 2\times 0{,}0015=0{,}0031.
Como p\approx 0{,}0031<0{,}05, isto confirma a rejeição de H_0.

Passo 6

Interpretação em linguagem simples e no contexto do problema (didática e incentivo):
  • Rejeitar H_0 significa que os dados da amostra fornecem evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, de que a média real de consumo difere de 11 L/100 km.
  • Observando que a média amostral é maior ( 11,4), a conclusão prática é que há evidência de que o consumo verdadeiro é maior do que o anunciado — ou seja, os carros consomem mais do que os 11 L/100 km anunciados.
  • Nota amigável: a diferença observada é 0,4 L/100 km e o teste mostra que essa diferença é estatisticamente significativa (p quase 0{,}003). Isso quer dizer que é muito improvável obter uma média amostral de 11,4 quando a verdadeira média fosse 11.

Resposta

Rejeita-se H_0. Conclusão: ao nível de 5\%, há evidência de que o consumo médio é diferente de 11 L/100 km — mais precisamente, os dados indicam que o consumo médio é maior que 11 L/100 km.

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