Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros por 100 km , com desvio padrão de 0,8 litro. Uma revista decide testar essa afirmação e analisa 35 carros dessa marca, obtendo 11,4 litros por 100 km , como consumo médio. Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, ao nível de
, o que a revista concluirá sobre o anuncio da fábrica?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma conclusão estatística ao nível de
:
- A fábrica afirma que o consumo médio é
litros por 100 km. - O desvio padrão populacional é conhecido:
litro. - A revista amostrou
carros e obteve média amostral litros por 100 km. - Pressupõe-se que o consumo segue distribuição normal.
A pergunta é: ao nível de significância, o que a revista concluirá sobre o anúncio da fábrica (isto é, há evidência de que a média verdadeira difere de L/100 km)?
Passo 2
Escolha do teste e formulação das hipóteses (explicação didática):
- Quando o desvio padrão populacional
é conhecido e a variável é normal, o teste natural para a média é o teste-z (teste para média com conhecido). Isso porque a estatística padronizada tem distribuição normal padrão sob a hipótese nula. - As hipóteses que testamos são:
ou seja, um teste bilateral (a revista quer verificar se a média é diferente do que a fábrica anunciou). Se quiséssemos testar só se o consumo é maior, usaríamos
; aqui adotamos o bilateral por ser a formulação padrão ao questionar um anúncio de média.
Passo 3
Fórmula da estatística de teste e definição das variáveis (explicação didática):
- A estatística z é dada por
Explicando cada símbolo:
-
é a média da amostra ( no problema). -
é o valor da média sob (aqui ). -
é o desvio padrão populacional conhecido ( ). -
é o tamanho da amostra ( ). - Sob
, segue aproximadamente a distribuição normal padrão . - Nível de significância:
. Para um teste bilateral, os valores críticos são os quantis de que deixam em cada cauda, ou seja . Alternativamente podemos calcular o p-valor e compará-lo com .
Passo 4
Cálculo do erro padrão e da estatística
(contas passo a passo):
- Primeiro o erro padrão da média:
Calculemos
:
Então
- Agora a estatística
:
(Arredondei para duas casas decimais em
.)
Passo 5
Decisão pelo método do valor crítico e pelo p-valor (explicação didática):
- Método do valor crítico: para
bilateral, rejeitamos se . Aqui , portanto rejeitamos . - Cálculo do p-valor (opcional, confirma a decisão): o p-valor bilateral é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Para
, a cauda superior
é aproximadamente
. Logo
Como
, isto confirma a rejeição de
.
Passo 6
Interpretação em linguagem simples e no contexto do problema (didática e incentivo):
- Rejeitar
significa que os dados da amostra fornecem evidência estatística suficiente, ao nível de , de que a média real de consumo difere de L/100 km. - Observando que a média amostral é maior (
), a conclusão prática é que há evidência de que o consumo verdadeiro é maior do que o anunciado — ou seja, os carros consomem mais do que os L/100 km anunciados. - Nota amigável: a diferença observada é
L/100 km e o teste mostra que essa diferença é estatisticamente significativa (p quase ). Isso quer dizer que é muito improvável obter uma média amostral de quando a verdadeira média fosse .
Resposta
Rejeita-se
. Conclusão: ao nível de
, há evidência de que o consumo médio é diferente de
L/100 km — mais precisamente, os dados indicam que o consumo médio é maior que
L/100 km.