Examinar quais das funções a seguir são transformações lineares:
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
A pergunta é: determinar se essa função
é uma transformação linear (ou seja, verificar se
é linear).
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio e contradomínio:
. - Regra de associação: a um vetor
associa-se o vetor .
Passo 2
Relembrando o que significa ser transformação linear (conceito que vou usar passo a passo):
Uma aplicação
é linear se e somente se vale para quaisquer vetores
e qualquer escalar
as duas propriedades seguintes:
- Aditividade (ou compatibilidade com soma):
- Homogeneidade (ou compatibilidade com multiplicação por escalar):
Essas duas propriedades juntas significam que
preserva combinações lineares: para quaisquer
e escalares
,
Vou verificar as duas propriedades diretamente para a
dada. Outra forma equivalente de testar é mostrar que existe uma matriz
tal que
; se existir tal matriz,
é linear. Vou fazer as duas abordagens (verificação direta + matriz).
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
e
quaisquer vetores em
. Primeiro calcule
:
Agora aplique
a
:
Simplificando os parênteses:
Agora calcule
separadamente:
Somando:
Comparando as duas expressões, vê-se que
Portanto a propriedade da soma está verificada para quaisquer
.
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Seja
um escalar qualquer e
. Primeiro calcule
:
Aplique
a
:
Fatorando
nos componentes:
Mas
. Logo
Portanto a propriedade de multiplicação por escalar está verificada para qualquer
e qualquer
.
Passo 5
Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas de forma geral, concluímos que
é linear. Vou dar também a visão matricial, que às vezes é a forma mais rápida de reconhecer linearidade.
Passo 6
Representação matricial de
. Se
é linear, ela pode ser escrita na forma
para alguma matriz
. Para a regra
, os coeficientes aparecem lendo os pesos de
e
em cada componente:
- primeira componente
, - segunda componente
.
Assim a matriz associada é
porque
A existência dessa matriz confirma novamente que
é uma transformação linear.]
Passo 7
Observações úteis que ajudam na prova e na prova rápida em provas:
- Uma consequência imediata da linearidade é que
. Verifique: . - Para encontrar a matriz
de rapidamente, calcule as imagens dos vetores da base canônica e :
As colunas de
são exatamente
e
, o que dá
Isso é rápido para usar na prova: se as imagens de
produzirem colunas constantes (ou seja, são vetores fixos independentemente de
), então
é linear.]
Resposta
T é uma transformação linear.