Examinar quais das funções a seguir são transformações lineares:
T(x, y)=(x+y, 2 y) \quad \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(x+y,\,2y).
A pergunta é: determinar se essa função T é uma transformação linear (ou seja, verificar se T é linear).
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}^2.
  • Regra de associação: a um vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 associa-se o vetor (x+y,\,2y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Relembrando o que significa ser transformação linear (conceito que vou usar passo a passo):
Uma aplicação T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é linear se e somente se vale para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^n e qualquer escalar c\in\mathbb{R} as duas propriedades seguintes:
  1. Aditividade (ou compatibilidade com soma):
T(u+v)=T(u)+T(v).
  1. Homogeneidade (ou compatibilidade com multiplicação por escalar):
T(c\,u)=c\,T(u).
Essas duas propriedades juntas significam que T preserva combinações lineares: para quaisquer u,v e escalares a,b,
T(a u + b v)=a\,T(u)+b\,T(v).
Vou verificar as duas propriedades diretamente para a T dada. Outra forma equivalente de testar é mostrar que existe uma matriz A tal que T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}; se existir tal matriz, T é linear. Vou fazer as duas abordagens (verificação direta + matriz).

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) quaisquer vetores em \mathbb{R}^2. Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Agora aplique T a u+v:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;2(y_1+y_2)\big).
Simplificando os parênteses:
T(u+v)=\big(x_1+y_1 + x_2+y_2,\;2y_1+2y_2\big).
Agora calcule T(u)+T(v) separadamente:
T(u)=T(x_1,y_1)=(x_1+y_1,\;2y_1),
T(v)=T(x_2,y_2)=(x_2+y_2,\;2y_2).
Somando:
T(u)+T(v)=(x_1+y_1 + x_2+y_2,\;2y_1+2y_2).
Comparando as duas expressões, vê-se que
T(u+v)=T(u)+T(v).
Portanto a propriedade da soma está verificada para quaisquer u,v.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} um escalar qualquer e u=(x,y)\in\mathbb{R}^2. Primeiro calcule c\,u:
c\,u=(c x,\;c y).
Aplique T a c\,u:
T(cu)=T(c x,\;c y)=\big(c x + c y,\;2(c y)\big).
Fatorando c nos componentes:
T(cu)=\big(c(x+y),\;c(2y)\big)=c\,(x+y,\;2y).
Mas (x+y,2y)=T(x,y)=T(u). Logo
T(cu)=c\,T(u).
Portanto a propriedade de multiplicação por escalar está verificada para qualquer c e qualquer u.

Passo 5

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas de forma geral, concluímos que T é linear. Vou dar também a visão matricial, que às vezes é a forma mais rápida de reconhecer linearidade.

Passo 6

Representação matricial de T. Se T é linear, ela pode ser escrita na forma
T\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}
para alguma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times2}. Para a regra T(x,y)=(x+y,\,2y), os coeficientes aparecem lendo os pesos de x e y em cada componente:
  • primeira componente x+y = 1\cdot x + 1\cdot y,
  • segunda componente 2y = 0\cdot x + 2\cdot y.
Assim a matriz associada é
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},
porque
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot x + 1\cdot y\\[4pt]0\cdot x + 2\cdot y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y\\[4pt]2y\end{pmatrix} = T(x,y).
A existência dessa matriz confirma novamente que T é uma transformação linear.]

Passo 7

Observações úteis que ajudam na prova e na prova rápida em provas:
  • Uma consequência imediata da linearidade é que T(0,0)=(0,0). Verifique: T(0,0)=A\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para encontrar a matriz A de T rapidamente, calcule as imagens dos vetores da base canônica \,e_1=(1,0) e e_2=(0,1):
T(e_1)=T(1,0)=(1+0,\,0)=(1,0),
T(e_2)=T(0,1)=(0+1,\,2)=(1,2).
As colunas de A são exatamente T(e_1) e T(e_2), o que dá
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Isso é rápido para usar na prova: se as imagens de e_1,e_2 produzirem colunas constantes (ou seja, são vetores fixos independentemente de x,y), então T é linear.]

Resposta

T é uma transformação linear.

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