Encontre o operador linear T sobre \mathbb{R}^{3}, tal que T(1,1,1)=(-1,2,3), T(0,2,1)=(-2,2,4) e T(1,-1,3)= ( -5,0,5 ).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} desconhecido e nos informa três imagens:
v_1=(1,1,1),\qquad T(v_1)=w_1=(-1,2,3),
v_2=(0,2,1),\qquad T(v_2)=w_2=(-2,2,4),
v_3=(1,-1,3),\qquad T(v_3)=w_3=(-5,0,5).
O que se pede: encontrar T em forma explícita (por exemplo, matriz em relação à base canônica ou fórmula T(x,y,z)=\ldots).

Passo 2

Ideia prática (sem jargões): se os vetores v_1,v_2,v_3 formam uma base de \mathbb{R}^3, existe exatamente um operador linear que envia cada v_i em w_i. Para encontrar a matriz X de T na base canônica, monte as matrizes cujas colunas são os v_i e os w_i:
V=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]1 & 2 & -1\\[4pt]1 & 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad W=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -5\\[4pt]2 & 2 & 0\\[4pt]3 & 4 & 5\end{pmatrix}.
A relação entre a matriz X de T e essas matrizes é
X\,V=W,
porque X aplicado às colunas de V (os v_i) dá as colunas de W (os w_i). Como veremos, V é invertível, então
X = W\,V^{-1}.]

Passo 3

Antes de calcular V^{-1}, confirmamos que V é invertível (assim há solução única). Calculemos o determinante de V (expansão pela primeira linha):
\det(V)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix} -0\cdot\det(\cdots) +1\cdot(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Agora as contas:
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-(-1)\cdot1=6+1=7,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot1=-1.
Portanto
\det(V)=1\cdot7 + 1\cdot(-1)=6\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e V é invertível — vale a fórmula X=W V^{-1}.]

Passo 4

Vamos calcular V^{-1} por eliminação de Gauss (mostrando as transformações de linha rapidamente). Começamos com (V\mid I):
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Fazendo R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -2 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right).
Agora R_2\leftarrow \tfrac{1}{2}R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right).
Fazendo R_3\leftarrow R_3-R_2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{array}\right).
Divida R_3 por 3:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right).
Elimine a coluna 3 nas linhas 1 e 2: R_2\leftarrow R_2+R_3, R_1\leftarrow R_1-R_3. Obtemos
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{7}{6} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right).
A parte direita é V^{-1}. Então
V^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{7}{6} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calcule X=W V^{-1}. Em vez de multiplicar tudo de uma vez, multiplico W pelas colunas de V^{-1} (cada produto dá uma coluna de X).
Primeira coluna de V^{-1}: \big(\tfrac{7}{6},-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{6}\big)^{T}.
W\begin{pmatrix}\tfrac{7}{6}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -5\\[4pt]2 & 2 & 0\\[4pt]3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{7}{6}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Segunda coluna de V^{-1}: \big(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{6}\big)^{T}.
W\begin{pmatrix}\tfrac{1}{6}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Terceira coluna de V^{-1}: \big(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big)^{T}.
W\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Portanto as colunas de X são essas, isto é
X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

A partir da matriz X (que é a matriz de T na base canônica), podemos ler as imagens dos vetores da base canônica:
T(e_1)=(1,1,0),\quad T(e_2)=(0,1,1),\quad T(e_3)=(-2,0,2).
Assim, para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3) = x(1,1,0)+y(0,1,1)+z(-2,0,2).
Somando componente a componente:
T(x,y,z)=(x-2z,\;x+y,\;y+2z).

Passo 7

Checagem rápida com os dados originais (só para ficar tranquilo): aplicar T em v_1=(1,1,1),
T(1,1,1)=(1-2\cdot1,\;1+1,\;1+2\cdot1)=(-1,2,3)=w_1.
Aplicar em v_2=(0,2,1),
T(0,2,1)=(0-2\cdot1,\;0+2,\;2+2\cdot1)=(-2,2,4)=w_2.
Aplicar em v_3=(1,-1,3),
T(1,-1,3)=(1-2\cdot3,\;1-1,\;-1+2\cdot3)=(-5,0,5)=w_3.
Perfeito — tudo confere.

Resposta

\displaystyle T(x,y,z)=(x-2z,\;x+y,\;y+2z)
\displaystyle [T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\\[4pt]1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 2\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados