Encontre o operador linear T sobre \mathbb{R}^{3}, tal que T(1,1,1)=(-1,2,3), T(0,2,1)=(-2,2,4) e T(1,-1,3)= ( -5,0,5 ).
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} desconhecido e nos informa três imagens:
v_1=(1,1,1),\qquad T(v_1)=w_1=(-1,2,3),
v_2=(0,2,1),\qquad T(v_2)=w_2=(-2,2,4),
v_3=(1,-1,3),\qquad T(v_3)=w_3=(-5,0,5).
O que se pede: encontrar T em forma explícita (por exemplo, matriz em relação à base canônica ou fórmula T(x,y,z)=\ldots).
Passo 2
Ideia prática (sem jargões): se os vetores v_1,v_2,v_3 formam uma base de \mathbb{R}^3, existe exatamente um operador linear que envia cada v_i em w_i. Para encontrar a matriz X de T na base canônica, monte as matrizes cujas colunas são os v_i e os w_i: