Examine a convergência das seguintes seqüências em R:
\left(\frac{(-1)^{n}}{n}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos termos são a_n = \dfrac{(-1)^n}{n} para n\in\mathbb{N} e pede para "examinar a convergência em \mathbb{R}".
Isso significa: determinar se a sequência converge e, se converge, encontrar o limite. As informações explícitas que temos são a fórmula geral dos termos a_n.

Passo 2

Uma observação imediata sobre os módulos dos termos: calculemos |a_n|.
|a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}.
Portanto os módulos dos termos são exatamente a sequência \left(\dfrac{1}{n}\right).

Passo 3

Lembrando um fato básico (que vou demonstrar a seguir): a sequência \left(\dfrac{1}{n}\right) converge para 0. Vou provar isso usando a definição \varepsilon- N.
Definição (lembrete curto): dizer que \dfrac{1}{n}\to0 significa que, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, \left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\varepsilon.
Prova: seja \varepsilon>0. Escolha um inteiro
N=\left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor+1.
Então N>\dfrac{1}{\varepsilon}, logo para todo n\ge N vale
0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que \dfrac{1}{n}\to0.

Passo 4

Agora usamos uma propriedade simples e muito útil: se |a_n|\to0 então a_n\to0. Aqui |a_n|=\dfrac{1}{n}\to0, então necessariamente a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\to0.
Explicando por que isso é imediato: a definição de limite pede que |a_n-0|\to0. Mas |a_n-0|=|a_n|, e já provamos que |a_n|\to0; portanto a_n\to0.

Passo 5

(Alternativa — Teorema do confronto / squeeze) Outra maneira igualmente direta é usar o confronto:
-\frac{1}{n}\le\frac{(-1)^n}{n}\le\frac{1}{n}
para todo n. Já mostramos que -\dfrac{1}{n}\to0 e \dfrac{1}{n}\to0; pelo Teorema do Confronto segue que \dfrac{(-1)^n}{n}\to0. Esta via é útil quando a sequência oscila em sinal, como aqui.

Passo 6

Propriedades adicionais úteis para a prova ou para a prova oral na prova: a sequência \left(\dfrac{(-1)^n}{n}\right) é limitada, pois para todo n tem |a_n|=\dfrac{1}{n}\le 1, logo todos os termos estão no intervalo [-1,1]. A sequência não é monotônica (os sinais alternam), mas isso não impede a convergência — o que importa é que a amplitude vai a zero.

Resposta

Converge para 0.

Exercícios relacionados