Seja
uma sequêncja ern
que converge para
, e seja
. Mostre que lin
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma sequência
em que converge para um vetor . Ou seja, sabe-se que . - Uma constante real
.
O que devemos mostrar é:
- Que
.
Passo 2
Vou lembrar a definição precisa de convergência em
que vou usar (isso é importante para fazer a prova rigorosa):
- A sequência
converge para significa que, para todo , existe tal que, para todo ,
Aqui
denota a norma em
; uma escolha habitual é a norma Euclidiana
. O que importa para a prova é a propriedade da norma relativa à multiplicação por escalar:
para todo
e todo
. Essa identidade é elementar: multiplicar cada coordenada por
multiplica a norma por
.
Passo 3
Usando a propriedade da norma, para cada
temos
Esta igualdade é o ponto chave: a diferença entre
e
é simplesmente
vezes a diferença entre
e
.
Passo 4
Agora a prova por
-
. Tomemos um
arbitrário e queiramos encontrar
tal que, para todo
,
Existem dois casos, porque não podemos dividir por
se
. Vou tratá-los separadamente.
Passo 5
Caso
.
Defina
. Como
, existe
tal que, para todo
,
Usando a igualdade do Passo 3, para esse
obtemos
Assim, para este
e todo
temos
. Isso mostra que
quando
.
Passo 6
Caso
.
Então
é a sequência constante igual ao vetor zero:
para todo
. Também
. Uma sequência constante igual a
converge trivialmente para
: dado
, para qualquer
e todo
tem-se
. Logo
no caso
também.
Passo 7
Como em ambos os casos (
e
) mostramos que, dado
, existe
com
para todo
, concluímos que