Seja X=\left(x_{n}\right) uma sequêncja ern R^{D} que converge para x, e seja c \in R. Mostre que lin \left(c x_{n}\right)=c x.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma sequência X=(x_{n}) em \mathbb{R}^{D} que converge para um vetor x. Ou seja, sabe-se que x_{n}\to x.
  • Uma constante real c\in\mathbb{R}.
O que devemos mostrar é:
  • Que \lim_{n\to\infty} (c x_{n}) = c x.

Passo 2

Vou lembrar a definição precisa de convergência em \mathbb{R}^{D} que vou usar (isso é importante para fazer a prova rigorosa):
  • A sequência x_{n} converge para x significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\|x_{n}-x\|<\varepsilon.
Aqui \|\cdot\| denota a norma em \mathbb{R}^{D}; uma escolha habitual é a norma Euclidiana \|y\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{D} y_{i}^{2}}. O que importa para a prova é a propriedade da norma relativa à multiplicação por escalar:
\|\alpha y\| = |\alpha|\,\|y\|
para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo y\in\mathbb{R}^{D}. Essa identidade é elementar: multiplicar cada coordenada por \alpha multiplica a norma por |\alpha|.

Passo 3

Usando a propriedade da norma, para cada n temos
\|c x_{n} - c x\| = \|c (x_{n}-x)\| = |c|\,\|x_{n}-x\|.
Esta igualdade é o ponto chave: a diferença entre c x_{n} e c x é simplesmente |c| vezes a diferença entre x_{n} e x.

Passo 4

Agora a prova por \varepsilon- N. Tomemos um \varepsilon>0 arbitrário e queiramos encontrar N tal que, para todo n\ge N,
\|c x_{n} - c x\| < \varepsilon.
Existem dois casos, porque não podemos dividir por |c| se c=0. Vou tratá-los separadamente.

Passo 5

Caso c\neq 0.
Defina \delta = \dfrac{\varepsilon}{|c|}. Como x_{n}\to x, existe N tal que, para todo n\ge N,
\|x_{n}-x\| < \delta.
Usando a igualdade do Passo 3, para esse n obtemos
\|c x_{n} - c x\| = |c|\,\|x_{n}-x\| < |c|\,\delta = |c|\,\frac{\varepsilon}{|c|} = \varepsilon.
Assim, para este N e todo n\ge N temos \|c x_{n} - c x\|<\varepsilon. Isso mostra que c x_{n}\to c x quando c\neq 0.

Passo 6

Caso c=0.
Então c x_{n} é a sequência constante igual ao vetor zero: c x_{n}=0 para todo n. Também c x = 0. Uma sequência constante igual a 0 converge trivialmente para 0: dado \varepsilon>0, para qualquer N e todo n\ge N tem-se \|0-0\|=0<\varepsilon. Logo c x_{n}\to c x no caso c=0 também.

Passo 7

Como em ambos os casos ( c\neq 0 e c=0 ) mostramos que, dado \varepsilon>0, existe N com \|c x_{n}-c x\|<\varepsilon para todo n\ge N, concluímos que
\lim_{n\to\infty} (c x_{n}) = c x.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} (c x_{n}) = c x

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