Seja b \in \boldsymbol{R}; mostre que lim (b / n)=0.

Passo 1

O enunciado dá um número real b (qualquer b\in\mathbb{R}) e nos pede para mostrar que a sequência definida por
a_n=\frac{b}{n}
tem limite 0 quando n tende a infinito. Ou seja, a pergunta é provar que
\lim_{n\to\infty}\frac{b}{n}=0.
Informações relevantes: b é fixo (pode ser 0, positivo ou negativo) e n é um inteiro positivo que cresce. Nada mais é dado.

Passo 2

Ideia intuitiva (sem rigor): o numerador b é constante enquanto o denominador n cresce sem limite, então a fração fica cada vez menor em módulo e tende a zero. Agora vamos transformar essa intuição em uma prova rigorosa usando a definição de limite para sequências.

Passo 3

Definição de limite (forma que vamos usar): dizer que
\lim_{n\to\infty} a_n = L
significa que para todo \varepsilon>0 existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-L|<\varepsilon. Aqui a_n=\dfrac{b}{n} e queremos L=0. Vou explicar cada símbolo: \varepsilon é qualquer número positivo pequeno que escolhermos; N é um índice a partir do qual todos os termos da sequência ficam dentro da distância \varepsilon de L.

Passo 4

Caso trivial b=0. Se b=0 então a_n=\dfrac{0}{n}=0 para todo n. Logo, para qualquer \varepsilon>0 podemos escolher qualquer N (por exemplo N=1) e teremos, para todo n\ge N,
\left|\frac{b}{n}-0\right|=0<\varepsilon.
Portanto o limite é 0 quando b=0.

Passo 5

Caso b\neq 0. Calculemos a distância ao candidato a limite 0:
\left|\frac{b}{n}-0\right|=\left|\frac{b}{n}\right|=\frac{|b|}{n}.
Para que isso seja menor do que um dado \varepsilon>0 precisamos de
\frac{|b|}{n}<\varepsilon.
Essa desigualdade é equivalente a
n>\frac{|b|}{\varepsilon}.

Passo 6

Escolha de N. Como n deve ser inteiro, basta escolher um inteiro N maior que \dfrac{|b|}{\varepsilon}. Por exemplo, podemos definir
N=\left\lceil\frac{|b|}{\varepsilon}\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro maior ou igual a x. Com essa escolha, para todo n\ge N vale n\ge N\ge \dfrac{|b|}{\varepsilon}, logo n>\dfrac{|b|}{\varepsilon} ou no mínimo \dfrac{|b|}{n}\le\varepsilon. Mais precisamente, para todo n\ge N obtemos
\left|\frac{b}{n}-0\right|=\frac{|b|}{n}\le\frac{|b|}{N}\le\varepsilon.
Isso atende exatamente à definição de limite.

Passo 7

Conclusão e comentário final: Mostramos que para qualquer \varepsilon>0 existe um inteiro N (dependente de \varepsilon e de b) tal que, para todo n\ge N, \left|\dfrac{b}{n}-0\right|<\varepsilon. Portanto, pela definição de limite de sequência,
\lim_{n\to\infty}\frac{b}{n}=0.

Resposta

\displaystyle 0

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