A excitação de CO de \mathrm{J}=0 para \mathrm{J}=1 ocorre em 1,15310^{5} \mathrm{MHz}. Calcule a distância de ligação.

Passo 1

O enunciado informa que a transição rotacional de CO de J=0 para J=1 ocorre à frequência \nu=1,153\times10^{5}\,\text{MHz}. O conteúdo relevante é o modelo de rotor rígido, em que a diferença de energia entre níveis J e J+1 satisfaz
\Delta E = E_{J+1}-E_J = h\nu = \frac{\hbar^2}{I}(J+1)\bigl[J+2\bigr].
Para J=0\to1 isso dá \Delta E=\hbar^2/I. Vamos usar essa relação para encontrar o momento de inércia I e daí a distância de ligação r, sabendo que I=\mu r^2, onde \mu é a massa reduzida de CO.

Passo 2

Para a transição J=0\to1 temos
h\nu = \frac{\hbar^2}{I} \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{\hbar^2}{h\nu} = \frac{h^2}{4\pi^2\,h\,\nu} = \frac{h}{4\pi^2\,\nu}.
Convertendo \nu para hertz:
\nu = 1,153\times10^{5}\,\text{MHz} = 1,153\times10^{5}\times10^{6}\,\text{Hz} = 1,153\times10^{11}\,\text{Hz}.

Passo 3

Calculemos I:
I = \frac{6,626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}} {4\pi^2\times1,153\times10^{11}\,\mathrm{Hz}} \approx 1,45\times10^{-46}\,\mathrm{kg\,m^2}.

Passo 4

A massa reduzida de CO é
\mu = \frac{m_{\mathrm C}\,m_{\mathrm O}}{m_{\mathrm C}+m_{\mathrm O}} = \frac{12\,u \times 16\,u}{28\,u} = 6,857\,u = 6,857\times1,6605\times10^{-27}\,\mathrm{kg} \approx 1,14\times10^{-26}\,\mathrm{kg}.

Passo 5

Finalmente, a distância de ligação
r = \sqrt{\frac{I}{\mu}} = \sqrt{\frac{1,45\times10^{-46}}{1,14\times10^{-26}}} \approx 1,13\times10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 1,13\,\text{\AA}.

Resposta

A distância de ligação do CO é
r = 1,13\times10^{-10}\,\mathrm{m}.

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