Exemplifique com uma matriz A de ordem 3 a situação em que A admite fatoração LU, porém, os fatores L e U não são únicos.

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente mostrar um exemplo de uma matriz 3x3 chamada A que tem uma fatoração LU, ou seja, pode ser decomposta em uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U. Porém, nessa situação, os fatores L e U não são únicos, ou seja, existem diferentes matrizes L e U que satisfazem essa fatoração para a mesma matriz A. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fatoração LU e quais condições fazem com que essa fatoração seja única ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a fatoração LU. Uma matriz A pode ser decomposta em duas matrizes: L, que é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal, e U, que é uma matriz triangular superior. A equação é: A = LU. Essa decomposição é muito útil para resolver sistemas lineares, calcular determinantes, entre outras aplicações.

Passo 3

No entanto, para que a fatoração LU seja única, geralmente impomos que a diagonal de L seja composta por 1’s. Isso garante que não haja múltiplas maneiras de fatorar a matriz A. Mas, se permitirmos que os elementos da diagonal de L sejam diferentes de 1, a fatoração pode não ser única. Ou seja, podemos ter diferentes matrizes L e U que multiplicadas resultam na mesma matriz A.

Passo 4

Vamos escolher uma matriz A 3x3 que permita essa situação. Uma boa escolha é uma matriz que tenha um elemento igual a zero em uma posição estratégica que não prejudique a existência da fatoração LU, mas que permita diferentes escolhas para os elementos de L e U.

Passo 5

Vamos considerar a seguinte matriz:
A = 2 & 1 & 1 4 & 3 & 3 6 & 7 & 9
Agora, vamos tentar factorar essa matriz em L e U de maneiras diferentes.

Passo 6

Primeira fatoração:
Vamos supor que a diagonal de L seja composta por 1’s.
L1 = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1 , U1 = 2 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2
Aqui, multiplicando L1 times U1 obtemos a matriz A original.

Passo 7

Segunda fatoração:
Agora, vamos permitir que a diagonal de L tenha elementos diferentes de 1.
Por exemplo, podemos escolher:
L2 = 2 & 0 & 0 4 & 1 & 0 6 & 3 & 1 , U2 = 1 & 0.5 & 0.5 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2
Multiplicando L2 times U2, também obtemos a matriz A original.

Resposta

Assim, mostramos que a matriz
A = 2 & 1 & 1 4 & 3 & 3 6 & 7 & 9
admite uma fatoração LU, mas os fatores L e U não são únicos, já que podemos encontrar diferentes pares (L, U) que satisfazem A = LU.

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