Exemplo 10: Considere agora as seguintes observações sobre a dureza de peças de alumínio. Fonte: Hoaglin, Mosteller e Tukey, 1983, apud Morettin & Bussab, Estatistica Básica.
53,0 70,2 84,3 69,5 77,8 87,5
53,4 82,5 67,3 54,1 70,5 71,4
95,4 51,1 74,4 55,7 63,5 85,8
53,5 64,3 82,7 78,5 55,7 69,1
72,3 59,5 55,3 73,0 52,4 50,7
Calcule Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, P_{10}, P_{30}, D_{7}, media, desvio padrão, máximo e minemo.

Passo 1

O enunciado fornece 30 observações (dureza de peças de alumínio), dispostas numa tabela. As tarefas pedidas são calcular:
  • Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} (os três quartis),
  • P_{10}, P_{30} (os percentis 10\% e 30\%),
  • D_{7} (o 7.º decil, isto é o percentil 70\%),
  • média aritmética, desvio-padrão e o valor máximo e mínimo das observações.
As 30 observações (peguei todos os valores do enunciado) são:
\begin{array}{rrrrrr} 53{,}0 & 70{,}2 & 84{,}3 & 69{,}5 & 77{,}8 & 87{,}5\\\\ 53{,}4 & 82{,}5 & 67{,}3 & 54{,}1 & 70{,}5 & 71{,}4\\\\ 95{,}4 & 51{,}1 & 74{,}4 & 55{,}7 & 63{,}5 & 85{,}8\\\\ 53{,}5 & 64{,}3 & 82{,}7 & 78{,}5 & 55{,}7 & 69{,}1\\\\ 72{,}3 & 59{,}5 & 55{,}3 & 73{,}0 & 52{,}4 & 50{,}7 \end{array}

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar as observações em ordem crescente e indexá‑las (isto é obrigatório para calcular quartis, percentis e mediana). Ordenando, obtemos os 30 valores (índice i à esquerda):
\begin{array}{r|r} i & x_{(i)}\\hline 1 & 50{,}7\\\\ 2 & 51{,}1\\\\ 3 & 52{,}4\\\\ 4 & 53{,}0\\\\ 5 & 53{,}4\\\\ 6 & 53{,}5\\\\ 7 & 54{,}1\\\\ 8 & 55{,}3\\\\ 9 & 55{,}7\\\\ 10 & 55{,}7\\\\ 11 & 59{,}5\\\\ 12 & 63{,}5\\\\ 13 & 64{,}3\\\\ 14 & 67{,}3\\\\ 15 & 69{,}1\\\\ 16 & 69{,}5\\\\ 17 & 70{,}2\\\\ 18 & 70{,}5\\\\ 19 & 71{,}4\\\\ 20 & 72{,}3\\\\ 21 & 73{,}0\\\\ 22 & 74{,}4\\\\ 23 & 77{,}8\\\\ 24 & 78{,}5\\\\ 25 & 82{,}5\\\\ 26 & 82{,}7\\\\ 27 & 84{,}3\\\\ 28 & 85{,}8\\\\ 29 & 87{,}5\\\\ 30 & 95{,}4 \end{array}
Explicação didática do método que vou usar para quartis/percentis:
  • Uma forma comum (e ensinada em estatística básica) de achar o percentil de ordem p\% é calcular a posição
L=\frac{p}{100}\,(n+1),
onde n é o número de observações ordenadas. Se L for inteiro, o percentil é exatamente x_{(L)}. Se L não for inteiro, interpolamos entre x_{(\lfloor L\rfloor)} e x_{(\lceil L\rceil)}: se L=k+f com k=\lfloor L\rfloor e 0<f<1,
\text{percentil} = x_{(k)} + f\bigl(x_{(k+1)}-x_{(k)}\bigr).
Esse método é simples, prático na prova e padrão em livros introdutórios (é o método que vou aplicar aqui).
Vou aplicar esse procedimento para Q_1 (p=25), Q_2 (p=50), Q_3 (p=75), P_{10} (p=10), P_{30} (p=30) e D_7 (p=70).

Passo 3

Cálculo dos quartis e percentis com a fórmula L=\dfrac{p}{100}(n+1) com n=30 (logo n+1=31).
  • Para Q_{1} ( p=25\%):
L=\frac{25}{100}\cdot 31 = 7{,}75.
Isto significa que Q_{1} fica entre x_{(7)} e x_{(8)}. Temos x_{(7)}=54{,}1 e x_{(8)}=55{,}3. A fração de interpolação é f=0{,}75. Assim
Q_{1}=54{,}1 + 0{,}75(55{,}3-54{,}1)=54{,}1 + 0{,}75\cdot 1{,}2 =54{,}1 + 0{,}9 = 55{,}0.
  • Para Q_{2} (mediana, p=50\%):
L=\frac{50}{100}\cdot 31 = 15{,}5.
Entre x_{(15)} e x_{(16)}: x_{(15)}=69{,}1, x_{(16)}=69{,}5, f=0{,}5. Então
Q_{2}=69{,}1 + 0{,}5(69{,}5-69{,}1)=69{,}1 + 0{,}5\cdot 0{,}4 =69{,}1 + 0{,}2 =69{,}3.
  • Para Q_{3} ( p=75\%):
L=\frac{75}{100}\cdot 31 = 23{,}25.
Entre x_{(23)}=77{,}8 e x_{(24)}=78{,}5, com f=0{,}25. Então
Q_{3}=77{,}8 + 0{,}25(78{,}5-77{,}8)=77{,}8 + 0{,}25\cdot 0{,}7 =77{,}8 + 0{,}175 = 77{,}975.
  • Para P_{10} ( p=10\%):
L=\frac{10}{100}\cdot 31 = 3{,}1.
Entre x_{(3)}=52{,}4 e x_{(4)}=53{,}0, com f=0{,}1. Logo
P_{10}=52{,}4 + 0{,}1(53{,}0-52{,}4)=52{,}4 + 0{,}1\cdot 0{,}6 = 52{,}46.
  • Para P_{30} ( p=30\%):
L=\frac{30}{100}\cdot 31 = 9{,}3.
Entre x_{(9)}=55{,}7 e x_{(10)}=55{,}7 (valores iguais), com f=0{,}3. Assim
P_{30}=55{,}7 + 0{,}3(55{,}7-55{,}7)=55{,}7.
  • Para D_{7} (7.º decil =P_{70}, p=70\%):
L=\frac{70}{100}\cdot 31 = 21{,}7.
Entre x_{(21)}=73{,}0 e x_{(22)}=74{,}4, com f=0{,}7. Logo
D_{7}=73{,}0 + 0{,}7(74{,}4-73{,}0)=73{,}0 + 0{,}7\cdot 1{,}4 =73{,}0 + 0{,}98 = 73{,}98.

Passo 4

Cálculo da média aritmética. A média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Somei todas as 30 observações (faça isso com calma numa prova, em blocos de 6 por linha, por exemplo). A soma total é
\sum_{i=1}^{30} x_i = 2034{,}4.
Portanto
\bar{x}=\frac{2034{,}4}{30}=67{,}813333\ldots \approx 67{,}813.

Passo 5

Cálculo do desvio-padrão. Vou calcular o desvio-padrão amostral s (o mais comum em estatística quando se tem uma amostra), cuja fórmula é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}.
Para calcular de forma prática usa-se a fórmula computacional
s^{2}=\frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} - n\,\bar{x}^{2}\Biggr).
Já calculei \sum x_i = 2034{,}4. Também calculei (somando os quadrados das observações) que
\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} = 142649{,}76.
Agora calcule n\bar{x}^{2}. Como \bar{x}=\dfrac{2034{,}4}{30}, tem‑se
\bar{x}^{2}=4598{,}648177\ldots\quad\Rightarrow\quad n\bar{x}^{2}=30\cdot 4598{,}648177\ldots =137959{,}4453\ldots
Substituindo:
\sum x_i^{2} - n\bar{x}^{2} = 142649{,}76 - 137959{,}4453\ldots = 4690{,}3147\ldots
Portanto
s^{2}=\frac{4690{,}3147\ldots}{n-1}=\frac{4690{,}3147\ldots}{29}=161{,}73499\ldots
e
s=\sqrt{161{,}73499\ldots}\approx 12{,}718.
(Arredondei o desvio-padrão para três casas decimais; em prova, reporte com precisão coerente.)

Passo 6

Máximo e mínimo: da lista ordenada vê‑se que
\min = x_{(1)} = 50{,}7,\qquad \max = x_{(30)} = 95{,}4.

Resposta

Q_{1}=55{,}0
Q_{2}=69{,}3
Q_{3}=77{,}975
P_{10}=52{,}46
P_{30}=55{,}7
D_{7}=73{,}98
\bar{x}=67{,}813
s\approx 12{,}718
\min = 50{,}7
\max = 95{,}4

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