Em uma escola, foi aplicado um questionário a 200 estudantes. Desses, 60 afirmaram praticar esportes diariamente. A direção quer comunicar, com 99 \% de confiança, qual é a faixa de valores que pode representar a proporção real de alunos que praticam esportes todos os dias.

Passo 1

O enunciado pede: comunicar, com 99\% de confiança, a faixa de valores que pode representar a proporção real de alunos que praticam esportes diariamente.
Informações dadas:
  • Tamanho da amostra: n=200.
  • Número de alunos que afirmaram praticar esportes diariamente: X=60.
  • Nível de confiança desejado: 99\%.

Passo 2

Calcular a estimativa pontual da proporção (a proporção amostral). Esta é a melhor estimativa da proporção verdadeira baseada na amostra. A proporção amostral é
\hat{p}=\frac{X}{n}=\frac{60}{200}.
Fazendo a conta:
\hat{p}=\frac{60}{200}=0,3.

Passo 3

Explicar a fórmula que vou usar (passo a passo): para uma grande amostra, o intervalo de confiança para a proporção populacional p é dado por
\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\cdot\text{SE}(\hat{p}),
onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral (já calculada);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a \alpha/2 (com nível de confiança 1-\alpha);
  • \text{SE}(\hat{p}) é o erro padrão da proporção, dado por \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Antes de aplicar, checar a condição para usar essa aproximação normal: é usual exigir que n\hat{p}\ge 5 e n(1-\hat{p})\ge 5. Aqui:
n\hat{p}=200\cdot 0,3=60\ge5,\qquad n(1-\hat{p})=200\cdot 0,7=140\ge5,
logo a aproximação normal é apropriada.

Passo 4

Determinar z_{\alpha/2} para 99\% de confiança. O nível de confiança 1-\alpha=0,99 implica \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005. O valor crítico da normal padrão correspondente a 0,005 na cauda superior é
z_{0,005}\approx 2,576.

Passo 5

Calcular o erro padrão \text{SE}(\hat{p}):
\text{SE}(\hat{p})=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\dfrac{0,3\cdot 0,7}{200}}=\sqrt{\dfrac{0,21}{200}}=\sqrt{0,00105}\approx 0,0324.

Passo 6

Calcular a margem de erro E:
E=z_{0,005}\cdot\text{SE}(\hat{p})\approx 2,576\cdot 0,0324\approx 0,0835.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança: somar e subtrair a margem de erro de \hat{p}:
\text{limite inferior}=\hat{p}-E=0,3-0,0835=0,2165,
\text{limite superior}=\hat{p}+E=0,3+0,0835=0,3835.
Portanto a faixa estimada para a proporção real p é aproximadamente de 0,2165 a 0,3835.

Passo 8

Interpretação curta e prática (pra te animar): isso significa que, com 99\% de confiança, a proporção verdadeira de alunos que praticam esportes diariamente está entre 21,65\% e 38,35\%. Não é garantia absoluta — é uma faixa construída de modo que, se repetíssemos o procedimento muitas vezes, cerca de 99\% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor.

Resposta

0,2165 \le p \le 0,3835
21,65\%\\ \text{a}\\\ 38,35\%

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