Em uma escola, foi aplicado um questionário a 200 estudantes. Desses, 60 afirmaram praticar esportes diariamente. A direção quer comunicar, com
de confiança, qual é a faixa de valores que pode representar a proporção real de alunos que praticam esportes todos os dias.
Passo 1
O enunciado pede: comunicar, com
de confiança, a faixa de valores que pode representar a proporção real de alunos que praticam esportes diariamente.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Tamanho da amostra:
. - Número de alunos que afirmaram praticar esportes diariamente:
. - Nível de confiança desejado:
.
Passo 2
Calcular a estimativa pontual da proporção (a proporção amostral). Esta é a melhor estimativa da proporção verdadeira baseada na amostra. A proporção amostral é
Fazendo a conta:
Passo 3
Explicar a fórmula que vou usar (passo a passo): para uma grande amostra, o intervalo de confiança para a proporção populacional
é dado por
onde:
-
é a proporção amostral (já calculada); -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a (com nível de confiança ); -
é o erro padrão da proporção, dado por .
Antes de aplicar, checar a condição para usar essa aproximação normal: é usual exigir que
e
. Aqui:
logo a aproximação normal é apropriada.
Passo 4
Determinar
para
de confiança. O nível de confiança
implica
e
. O valor crítico da normal padrão correspondente a
na cauda superior é
Passo 5
Calcular o erro padrão
:
Passo 6
Calcular a margem de erro
:
Passo 7
Construir o intervalo de confiança: somar e subtrair a margem de erro de
:
Portanto a faixa estimada para a proporção real
é aproximadamente de
a
.
Passo 8
Interpretação curta e prática (pra te animar): isso significa que, com
de confiança, a proporção verdadeira de alunos que praticam esportes diariamente está entre
e
. Não é garantia absoluta — é uma faixa construída de modo que, se repetíssemos o procedimento muitas vezes, cerca de
desses intervalos conteriam o verdadeiro valor.