- Uma empresa deseja comparar a produtividade média de seus funcionários que trabalham remotamente com a daqueles que trabalham de forma presencial. A produtividade é medida pelo número de tarefas concluídas em uma semana.
Foram coletadas amostras independentes:
Trabalho remoto (
):
Trabalho presencial (
):
Trabalho remoto (
Passo 1
O enunciado dá duas amostras independentes da produtividade (número de tarefas concluídas por semana) e pede comparar as produtividades médias entre trabalhadores remotos e presenciais. Dados fornecidos:
- Trabalho remoto:
e a amostra
- Trabalho presencial:
e a amostra
Perguntas implícitas (o que precisamos responder):
- Qual é a média amostral de cada grupo?
- Há evidência estatística de diferença entre as médias populacionais de produtividade (remoto vs presencial)?
- Qual a estimativa do quanto as médias diferem (intervalo de confiança)?
Passo 2
Calcular as médias amostrais (fórmula e aplicação).
Fórmula da média amostral: para uma amostra com
observações
,
onde
é a média amostral.
Aplicando às amostras:
- Soma e média do grupo remoto:
- Soma e média do grupo presencial:
Interpretação rápida: a média amostral do grupo remoto é
tarefas/semana e a do presencial é
tarefas/semana — a diferença amostral é
.
Passo 3
Calcular as variâncias amostrais e desvios-padrão (fórmulas e explicação).
Fórmula da variância amostral (não viciada):
onde
é a variância amostral e
o desvio-padrão amostral. Essa fórmula divide por
para corrigir o viés da estimativa da variância populacional.
Agora os cálculos (mostrando os valores relevantes):
Para o grupo remoto (
) já calculei a soma dos quadrados dos desvios:
Então
Para o grupo presencial (
) usei a identidade
. Encontrei
portanto
Resumo numérico:
Passo 4
Escolha do método de comparação e justificativa (explicação didática).
O objetivo é verificar se as médias populacionais difere(m). O teste mais direto é o teste t para duas amostras independentes. Há duas versões principais:
- teste t com variâncias assumidas iguais (pooled t), que usa uma estimativa combinada da variância;
- teste t de Welch (não assume variâncias iguais), que é mais robusto quando as variâncias amostrais não coincidem exatamente.
Aqui
e
. As variâncias não são idênticas, então para sermos conservadores e robustos na prova eu escolho o teste de Welch (mais geral). Na prática de prova isso evita o passo extra de testar igualdade de variâncias e funciona bem mesmo quando as variâncias são próximas.
Passo 5
Definir hipóteses e nível de significância (formulação).
Vamos fazer um teste bilateral clássico (comparar se as médias são diferentes). As hipóteses são:
onde
é a média populacional do grupo remoto e
a do grupo presencial.
Vou usar nível de significância
(padrão em provas), a menos que a questão peça outro valor.
Passo 6
Fórmula do teste de Welch e cálculo do estatístico t.
Fórmula do estatístico de teste (Welch):
onde
é a diferença das médias amostrais e a raiz é o erro padrão da diferença.
Calculemos as partes:
Erro padrão da diferença:
Diferença das médias:
Portanto o estatístico
Passo 7
Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite) e cálculo.
A fórmula para os graus de liberdade aproximados é
Substituindo os valores já calculados:
Logo
Usamos
(na prática usa-se
para leitura em tabelas).
Passo 8
Cálculo do p‑valor e decisão do teste.
Temos
com
. Esse valor de
é muito grande em magnitude para um teste bilateral: consultando distribuição
(ou usando calculadora), o p‑valor bilateral é extremamente pequeno. Em termos práticos:
Comparando com
, como
, rejeitamos
. Conclusão: há evidência estatística forte de que as médias populacionais são diferentes. Como
, a evidência indica que a produtividade média dos remotos é maior que a dos presenciais.
Passo 9
Intervalo de confiança para a diferença das médias (interpretação e cálculo).
Um intervalo de confiança de
para
(usando a aproximação de Welch para o quantil
) é
onde
é o quantil
com
graus de liberdade e probabilidade acumulada
.
Com
,
(valor tabelado para df
). Já temos
.
Margem de erro:
Então o intervalo é
ou seja
(aproximadamente). Interpretação: com
de confiança, a produtividade média dos remotos excede a dos presenciais em algo entre cerca de
e
tarefas por semana.
Passo 10
Resumo prático e dica para a prova (como fazer rápido e o que reportar).
- Passos rápidos na prova: calcular
; calcular ; decidir entre pooled t e Welch (preferir Welch se as variâncias não forem claramente iguais ou para ser conservador); calcular pelo fórmula de Welch; obter graus de liberdade pela fórmula de Welch–Satterthwaite; olhar p‑valor ou comparar com crítico; opcional: calcular intervalo de confiança. - O resultado concreto aqui: diferença amostral grande (
) e muito alto ( ), logo diferença estatisticamente significativa. - Motivação e interpretação: a diferença é estatisticamente significativa e também substantiva (3,7–6,95 tarefas a mais por semana no remoto), então do ponto de vista da empresa isso pode ser relevante.
Resposta
Teste de Welch:
Intervalo de confiança de