1. Uma empresa deseja comparar a produtividade média de seus funcionários que trabalham remotamente com a daqueles que trabalham de forma presencial. A produtividade é medida pelo número de tarefas concluídas em uma semana.
Foram coletadas amostras independentes:
Trabalho remoto ( \mathrm{n} 1=20 ):
42,45,47,40,43,41,46,44,39,48,42,43,41,47,45,44,42,46,40,43
Trabalho presencial ( \mathrm{n} 2=15 ):
38,36,40,39,37,35,41,38,36,42,39,37,35,40,38

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes da produtividade (número de tarefas concluídas por semana) e pede comparar as produtividades médias entre trabalhadores remotos e presenciais. Dados fornecidos:
  • Trabalho remoto: n_1=20 e a amostra
42,45,47,40,43,41,46,44,39,48,42,43,41,47,45,44,42,46,40,43.
  • Trabalho presencial: n_2=15 e a amostra
38,36,40,39,37,35,41,38,36,42,39,37,35,40,38.
Perguntas implícitas (o que precisamos responder):
  • Qual é a média amostral de cada grupo?
  • Há evidência estatística de diferença entre as médias populacionais de produtividade (remoto vs presencial)?
  • Qual a estimativa do quanto as médias diferem (intervalo de confiança)?

Passo 2

Calcular as médias amostrais (fórmula e aplicação).
Fórmula da média amostral: para uma amostra com n observações x_1,\dots,x_n,
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média amostral.
Aplicando às amostras:
  • Soma e média do grupo remoto:
\sum_{i=1}^{20} x_{1i}=868, \qquad \bar{x}_1=\frac{868}{20}=43,4.
  • Soma e média do grupo presencial:
\sum_{i=1}^{15} x_{2i}=571, \qquad \bar{x}_2=\frac{571}{15}=38,066\overline{6}\approx38,0667.
Interpretação rápida: a média amostral do grupo remoto é \bar{x}_1=43,4 tarefas/semana e a do presencial é \bar{x}_2\approx38,0667 tarefas/semana — a diferença amostral é \bar{x}_1-\bar{x}_2\approx5,3333.

Passo 3

Calcular as variâncias amostrais e desvios-padrão (fórmulas e explicação).
Fórmula da variância amostral (não viciada):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde s^2 é a variância amostral e s=\sqrt{s^2} o desvio-padrão amostral. Essa fórmula divide por n-1 para corrigir o viés da estimativa da variância populacional.
Agora os cálculos (mostrando os valores relevantes):
Para o grupo remoto ( n_1=20) já calculei a soma dos quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{20}(x_{1i}-\bar{x}_1)^2=126,8.
Então
s_1^2=\frac{126,8}{20-1}=\frac{126,8}{19}\approx6,673684, \qquad s_1\approx\sqrt{6,673684}\approx2,583.
Para o grupo presencial ( n_2=15) usei a identidade \sum(x_i-\bar{x})^2=\sum x_i^2 - n\bar{x}^2. Encontrei
\sum_{i=1}^{15}(x_{2i}-\bar{x}_2)^2=\frac{944}{15}\approx62,933333,
portanto
s_2^2=\frac{944/15}{15-1}=\frac{944}{210}\approx4,495238, \qquad s_2\approx\sqrt{4,495238}\approx2,120.
Resumo numérico:
\bar{x}_1=43,4,\quad s_1\approx2,583,\quad n_1=20,
\bar{x}_2\approx38,0667,\quad s_2\approx2,120,\quad n_2=15.

Passo 4

Escolha do método de comparação e justificativa (explicação didática).
O objetivo é verificar se as médias populacionais difere(m). O teste mais direto é o teste t para duas amostras independentes. Há duas versões principais:
  • teste t com variâncias assumidas iguais (pooled t), que usa uma estimativa combinada da variância;
  • teste t de Welch (não assume variâncias iguais), que é mais robusto quando as variâncias amostrais não coincidem exatamente.
Aqui s_1^2\approx6,67 e s_2^2\approx4,50. As variâncias não são idênticas, então para sermos conservadores e robustos na prova eu escolho o teste de Welch (mais geral). Na prática de prova isso evita o passo extra de testar igualdade de variâncias e funciona bem mesmo quando as variâncias são próximas.

Passo 5

Definir hipóteses e nível de significância (formulação).
Vamos fazer um teste bilateral clássico (comparar se as médias são diferentes). As hipóteses são:
H_0:\\ \mu_1=\mu_2 \qquad\text{versus}\qquad H_1:\\ \mu_1\neq\mu_2,
onde \mu_1 é a média populacional do grupo remoto e \mu_2 a do grupo presencial.
Vou usar nível de significância \alpha=0,05 (padrão em provas), a menos que a questão peça outro valor.

Passo 6

Fórmula do teste de Welch e cálculo do estatístico t.
Fórmula do estatístico de teste (Welch):
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}},
onde \bar{x}_1-\bar{x}_2 é a diferença das médias amostrais e a raiz é o erro padrão da diferença.
Calculemos as partes:
\frac{s_1^2}{n_1}=\frac{6,673684}{20}\approx0,333684, \qquad \frac{s_2^2}{n_2}=\frac{4,495238}{15}\approx0,299683.
Erro padrão da diferença:
\text{SE}=\sqrt{0,333684+0,299683}=\sqrt{0,633367}\approx0,79585.
Diferença das médias:
\bar{x}_1-\bar{x}_2=43,4-38,066\overline{6}=5,333\overline{3}\approx5,3333.
Portanto o estatístico
t\approx\frac{5,3333}{0,79585}\approx6,698.

Passo 7

Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite) e cálculo.
A fórmula para os graus de liberdade aproximados é
\nu\approx\frac{\big(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\big)^2} {\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}.
Substituindo os valores já calculados:
\text{numerador}=(0,333684+0,299683)^2\approx0,401152,
\text{denominador}=\frac{0,333684^2}{19}+\frac{0,299683^2}{14}\approx0,012277.
Logo
\nu\approx\frac{0,401152}{0,012277}\approx32,7.
Usamos \nu\approx32{,}7 (na prática usa-se \nu\approx33 para leitura em tabelas).

Passo 8

Cálculo do p‑valor e decisão do teste.
Temos t\approx6,698 com \nu\approx32{,}7. Esse valor de t é muito grande em magnitude para um teste bilateral: consultando distribuição t (ou usando calculadora), o p‑valor bilateral é extremamente pequeno. Em termos práticos:
\text{p‑valor} < 0,0001.
Comparando com \alpha=0,05, como \text{p‑valor}\ll\alpha, rejeitamos H_0. Conclusão: há evidência estatística forte de que as médias populacionais são diferentes. Como \bar{x}_1>\bar{x}_2, a evidência indica que a produtividade média dos remotos é maior que a dos presenciais.

Passo 9

Intervalo de confiança para a diferença das médias (interpretação e cálculo).
Um intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2 (usando a aproximação de Welch para o quantil t) é
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{\,\nu,\,0,975}\cdot\text{SE},
onde t_{\,\nu,\,0,975} é o quantil t com \nu graus de liberdade e probabilidade acumulada 0,975.
Com \nu\approx32{,}7, t_{\,\nu,\,0,975}\approx2,034 (valor tabelado para df \approx33). Já temos \text{SE}\approx0,79585.
Margem de erro:
\text{ME}\approx2,034\times0,79585\approx1,618.
Então o intervalo é
5,3333\pm1,618
ou seja
(3,715,\;6,951)
(aproximadamente). Interpretação: com 95\% de confiança, a produtividade média dos remotos excede a dos presenciais em algo entre cerca de 3,72 e 6,95 tarefas por semana.

Passo 10

Resumo prático e dica para a prova (como fazer rápido e o que reportar).
  • Passos rápidos na prova: calcular \bar{x}_1,\bar{x}_2; calcular s_1^2,s_2^2; decidir entre pooled t e Welch (preferir Welch se as variâncias não forem claramente iguais ou para ser conservador); calcular t pelo fórmula de Welch; obter graus de liberdade pela fórmula de Welch–Satterthwaite; olhar p‑valor ou comparar com t crítico; opcional: calcular intervalo de confiança.
  • O resultado concreto aqui: diferença amostral grande ( \approx5,33) e t muito alto ( \approx6,70), logo diferença estatisticamente significativa.
  • Motivação e interpretação: a diferença é estatisticamente significativa e também substantiva (3,7–6,95 tarefas a mais por semana no remoto), então do ponto de vista da empresa isso pode ser relevante.

Resposta

\bar{x}_1=43,4,\\ \bar{x}_2\approx38,0667
Teste de Welch: t\approx6,698,\\ \nu\approx32{,}7,\\ \text{p‑valor}<0,0001. Rejeita‑se H_0 a 5\%: há diferença significativa (remotos com média maior).
Intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2: (3,715,\;6,951).

Exercícios relacionados