Exemplo 10: Seja A=\left\{(x, y) \in R^{2} ; 0<\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}<1\right\} então:
i) Todos os pontos de A são pontos de acumulação de A.
ii) (1,2) \notin A mas é ponto de acumulação de A.
iii) Os pontos sobre a circunferência (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1 também não pertence ao conjunto A, mas são pontos de acumulação de A.
iv) Os pontos no exterior do ciclo (x-1)^{2}+(y-2)^{2} \leq 1 não são pontos de acumulação de A.
Passo 1
O enunciado define
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0<\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}<1\},
que é um disco aberto de raio 1 centrado em (1,2), excluindo o centro. Queremos verificar, usando a definição de ponto de acumulação (todo disco aberto em torno de p contém pelo menos um ponto de A diferente de p), as afirmações (i)–(iv).
Passo 2
Provar que todo ponto interior p\in A é ponto de acumulação de A.
Seja p\in A. Então r=\|p-(1,2)\| satisfaz 0<r<1. Defina
\epsilon = \min\{r,\;1-r\}>0.
Para qualquer q com \|q-p\|<\epsilon, pela desigualdade triangular invertida
Pela escolha de \epsilon, tem-se 0<r-\epsilon e r+\epsilon<1. Logo 0<\|q-(1,2)\|<1, ou seja q\in A. Como isto vale para todo disco B(p,\epsilon), p é ponto de acumulação.
Passo 3
Mostrar que o centro (1,2) é ponto de acumulação, embora não pertença a A.
Chame c=(1,2). Para qualquer \epsilon>0, o disco B(c,\epsilon) contém pontos q com \|q-c\| arbitrariamente pequeno. Se \epsilon\le1, então todo q com 0<\|q-c\|<\epsilon satisfaz 0<\|q-c\|<1, logo q\in A. Assim, B(c,\epsilon) intercepta A sem conter c, e c é ponto de acumulação de A.
Passo 4
Mostrar que pontos p sobre a circunferência \|(x-1,y-2)\|=1 são pontos de acumulação.
Se \|p-(1,2)\|=1, então em qualquer disco B(p,\epsilon) existem pontos q apontando para o interior do disco fechado de raio 1, ou seja \|q-(1,2)\|<1. Escolhendo q\neq p suficientemente próximo de p, garante-se também \|q-(1,2)\|>0. Portanto q\in A, e p é ponto de acumulação.
Passo 5
Mostrar que pontos exteriores ao disco fechado \|(x-1,y-2)\|\le1 não são pontos de acumulação.
Se p satisfaz \|p-(1,2)\|>1, defina d=\|p-(1,2)\|-1>0. Para 0<\epsilon\le d, todo q\in B(p,\epsilon) verifica
\|q-(1,2)\|\ge \|p-(1,2)\| - \|q-p\| > 1+d - d =1,
logo q\notin A. Assim B(p,\epsilon)\cap A=\emptyset e p não é ponto de acumulação.
Resposta
(i) Verdadeiro.
(ii) Verdadeiro.
(iii) Verdadeiro.
(iv) Verdadeiro.