Continuidade

Definição: Sejam f: A \subset R^{2} \rightarrow R e \left(x_{0}, y_{0}\right) \in A um ponto de acumulação de A. Dizemos que f é contínua em \left(x_{0}, y_{0}\right) se \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right).
Exemplo 19: Verificar se f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{2 x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua em (0,0).
Exemplo 20: Verificar se f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua em (0,0).
Exemplo 21: Discutir a continuidade da função f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+1, x^{2}+y^{2} \leq 4 \\\\ 0, x^{2}+y^{2}>4\end{array}\right..
Exercício: Mostre que a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{2 x y}{\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua em (0,0).
Propriedades das funções contínuas
Proposição: Se as funções f e g são contínuas no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right), então:
a) f+g é contínua em \left(x_{0}, y_{0}\right);
b) f-g é contínua em \left(x_{0}, y_{0}\right);
c) f . g é contínua em \left(x_{0}, y_{0}\right);
d) f / g é contínua em \left(x_{0}, y_{0}\right); desde que g\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0.
Observações:
  1. Uma função polinomial é contínua em R^{2}.
  2. Uma função racional é contínua em todos os pontos do domínio.
Proposição: Sejam y=f(u) e z=g(x, y). Suponha que g é continua em \left(x_{0}, y_{0}\right) e f é contínua em g\left(x_{0}, y_{0}\right), então a função composta f \circ g é contínua no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2xy}{\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para mostrar que f é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, ou seja, provar que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0).]

Passo 2

Para verificar a continuidade em (0,0), calculamos
|f(x,y)-f(0,0)|=|f(x,y)|=\left|\frac{2xy}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}}\right| =\frac{2\,|xy|}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}}.

Passo 3

Usamos a desigualdade clássica
2\,|xy|\le x^{2}+y^{2},
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|f(x,y)|\le \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}} =\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}.
Como \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \sqrt{\tfrac{x^{2}+y^{2}}{2}}\to0 e, portanto, |f(x,y)|\to0.

Passo 4

Concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0),
o que mostra que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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