Exemplo 10: Usando a definição de limite, mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)}(3 x+2 y)=7.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite em \mathbb{R}^2, que
\lim_{(x,y)\to(1,2)}(3x+2y)=7.
Isso significa: dado \varepsilon>0, precisamos encontrar \delta>0 de modo que, sempre que
0<\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}<\delta,
tenhamos
|3x+2y-7|<\varepsilon.
Vamos usar a desigualdade triangular e a relação entre norma euclidiana e as coordenadas.

Passo 2

Começamos examinando a diferença entre a função e o valor-alvo:
|3x+2y-7| = \bigl|3(x-1)+2(y-2)\bigr| \le 3\,|x-1| + 2\,|y-2|.

Passo 3

Se \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}<\delta, então |x-1|<\delta e |y-2|<\delta. Assim,
|3x+2y-7| < 3\delta + 2\delta = 5\delta.
Para garantir 5\delta<\varepsilon, basta escolher
\delta = \frac{\varepsilon}{5}.

Passo 4

Com \delta=\varepsilon/5, sempre que 0<\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}<\delta obtemos
|3x+2y-7| < 5\delta = \varepsilon,
o que satisfaz a definição de limite em \mathbb{R}^2.

Resposta

\displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,2)}(3x+2y)=7.

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