O que precisa ser encontrado é a solução geral \vec{X}(t) desse sistema. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz de coeficientes é A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]2 & -4\end{pmatrix}.
O termo não homogêneo é \vec{g}(t)=\binom{3e^{t}}{e^{-t}}.
Queremos a solução geral, ou seja, a soma da solução geral do sistema homogêneo associado e de uma solução particular do sistema não homogêneo.]
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): primeiro encontro a solução geral do sistema homogêneo \vec{X}'=A\vec{X} — isto normalmente se faz encontrando autovalores e autovetores de A. Depois procuro uma solução particular para o sistema não homogêneo; como o lado direito é combinação de e^{t} e e^{-t}, a forma de palpite por coeficientes indeterminados é simples: tento \vec{X}_p(t)=\vec{u}\,e^{t}+\vec{v}\,e^{-t} com vetores constantes \vec{u},\vec{v}. Então a solução geral é \vec{X}(t)=\vec{X}_h(t)+\vec{X}_p(t).
Passo 3
Resolver o homogêneo: calculemos o polinômio característico de A.
Agora buscamos uma solução particular por coeficientes indeterminados. Como \vec{g}(t)=\binom{3e^{t}}{e^{-t}} é combinação linear de e^{t} e e^{-t}, tento
\vec{X}_{p}(t)=\vec{u}\,e^{t}+\vec{v}\,e^{-t},
onde \vec{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\end{pmatrix} e \vec{v}=\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix} são vetores constantes a determinar.
Calcule a derivada:
\vec{X}_{p}'(t)=\vec{u}\,e^{t}-\vec{v}\,e^{-t}.
Substituindo na equação diferencial \vec{X}'=A\vec{X}+\vec{g}(t) obtemos