Exemplo 108. Encontre a solução geral do sistema não homogêneo
\vec{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\\\ 2 & -4 \end{array}\right) \vec{X}+\binom{3 e^{t}}{e^{-t}}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear não homogêneo
\vec{X}^{\prime}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]2 & -4\end{pmatrix}\vec{X}+\binom{3e^{t}}{e^{-t}}
O que precisa ser encontrado é a solução geral \vec{X}(t) desse sistema. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz de coeficientes é A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]2 & -4\end{pmatrix}.
  • O termo não homogêneo é \vec{g}(t)=\binom{3e^{t}}{e^{-t}}.
  • Queremos a solução geral, ou seja, a soma da solução geral do sistema homogêneo associado e de uma solução particular do sistema não homogêneo.]

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): primeiro encontro a solução geral do sistema homogêneo \vec{X}'=A\vec{X} — isto normalmente se faz encontrando autovalores e autovetores de A. Depois procuro uma solução particular para o sistema não homogêneo; como o lado direito é combinação de e^{t} e e^{-t}, a forma de palpite por coeficientes indeterminados é simples: tento \vec{X}_p(t)=\vec{u}\,e^{t}+\vec{v}\,e^{-t} com vetores constantes \vec{u},\vec{v}. Então a solução geral é \vec{X}(t)=\vec{X}_h(t)+\vec{X}_p(t).

Passo 3

Resolver o homogêneo: calculemos o polinômio característico de A.
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[4pt]2 & -4-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(-4-\lambda)-(-1)\cdot 2.
Calcule o produto:
(2-\lambda)(-4-\lambda)=\lambda^{2}+2\lambda-8,
portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}+2\lambda-8+2=\lambda^{2}+2\lambda-6.
Resolvendo \lambda^{2}+2\lambda-6=0 obtemos
\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{4+24}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2}=-1\pm\sqrt{7}.
Chamemos \lambda_{1}=-1+\sqrt{7} e \lambda_{2}=-1-\sqrt{7}. Como são distintos, teremos duas soluções fundamentais exponenciais independentes.]

Passo 4

Encontrar autovetores correspondentes. Para \lambda_{1}=-1+\sqrt{7} resolvemos (A-\lambda_{1}I)\vec{v}=0. As equações são
(2-\lambda_{1})x - y = 0,\qquad 2x+(-4-\lambda_{1})y=0.
Da primeira equação vem y=(2-\lambda_{1})x. Calculando 2-\lambda_{1}=2-(-1+\sqrt{7})=3-\sqrt{7}. Tomando x=1 obtemos o autovetor
\vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3-\sqrt{7}\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=-1-\sqrt{7} temos 2-\lambda_{2}=3+\sqrt{7}, e um autovetor correspondente (tomando x=1) é
\vec{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3+\sqrt{7}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrever a solução geral do homogêneo. Como os autovalores são distintos e reais,
\vec{X}_{h}(t)=C_{1}\,e^{\lambda_{1} t}\vec{v}_{1}+C_{2}\,e^{\lambda_{2} t}\vec{v}_{2},
ou seja
\vec{X}_{h}(t)=C_{1}\,e^{(-1+\sqrt{7})t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3-\sqrt{7}\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{(-1-\sqrt{7})t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3+\sqrt{7}\end{pmatrix},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.]

Passo 6

Agora buscamos uma solução particular por coeficientes indeterminados. Como \vec{g}(t)=\binom{3e^{t}}{e^{-t}} é combinação linear de e^{t} e e^{-t}, tento
\vec{X}_{p}(t)=\vec{u}\,e^{t}+\vec{v}\,e^{-t},
onde \vec{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\end{pmatrix} e \vec{v}=\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix} são vetores constantes a determinar.
Calcule a derivada:
\vec{X}_{p}'(t)=\vec{u}\,e^{t}-\vec{v}\,e^{-t}.
Substituindo na equação diferencial \vec{X}'=A\vec{X}+\vec{g}(t) obtemos
\vec{u}e^{t}-\vec{v}e^{-t}=A(\vec{u}e^{t}+\vec{v}e^{-t})+\binom{3e^{t}}{e^{-t}}.
Agrupando os termos em e^{t} e e^{-t} resulta em duas equações vetoriais separadas (coeficientes das exponenciais devem coincidir):
Para e^{t}:
\vec{u}=A\vec{u}+\binom{3}{0}\quad\Longrightarrow\quad (I-A)\vec{u}=\binom{3}{0}.
Para e^{-t}:
-\vec{v}=A\vec{v}+\binom{0}{1}\quad\Longrightarrow\quad (I+A)\vec{v}=\binom{0}{-1}.]

Passo 7

Resolver (I-A)\vec{u}=\binom{3}{0}. Calcule I-A:
I-A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&-1\\[4pt]2&-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&1\\[4pt]-2&5\end{pmatrix}.
Escrevendo para \vec{u}=(u_{1},u_{2})^{T}:
\begin{pmatrix}-1&1\\[4pt]-2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As equações são -u_{1}+u_{2}=3 e -2u_{1}+5u_{2}=0. Da primeira vem u_{2}=3+u_{1}. Substituindo na segunda:
-2u_{1}+5(3+u_{1})=0\quad\Rightarrow\quad -2u_{1}+15+5u_{1}=0\quad\Rightarrow\quad 3u_{1}=-15,
logo u_{1}=-5 e u_{2}=3+(-5)=-2. Assim
\vec{u}=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolver (I+A)\vec{v}=\binom{0}{-1}. Calcule I+A:
I+A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&-1\\[4pt]2&-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&-1\\[4pt]2&-3\end{pmatrix}.
Para \vec{v}=(v_{1},v_{2})^{T} temos
\begin{pmatrix}3&-1\\[4pt]2&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
As equações são 3v_{1}-v_{2}=0 e 2v_{1}-3v_{2}=-1. Da primeira v_{2}=3v_{1}. Substituindo na segunda:
2v_{1}-3(3v_{1})=-1\quad\Rightarrow\quad 2v_{1}-9v_{1}=-1\quad\Rightarrow\quad -7v_{1}=-1,
logo v_{1}=\dfrac{1}{7} e v_{2}=3v_{1}=\dfrac{3}{7}. Assim
\vec{v}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{7}\\[6pt]\tfrac{3}{7}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Construir a solução particular e a solução geral. A solução particular é
\vec{X}_{p}(t)=\vec{u}\,e^{t}+\vec{v}\,e^{-t} =\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-2\end{pmatrix}e^{t} +\begin{pmatrix}\tfrac{1}{7}\\[6pt]\tfrac{3}{7}\end{pmatrix}e^{-t}.
A solução geral do sistema é a soma da homogênea com a particular:
\vec{X}(t)=C_{1}\,e^{(-1+\sqrt{7})t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3-\sqrt{7}\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{(-1-\sqrt{7})t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3+\sqrt{7}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-2\end{pmatrix}e^{t} +\begin{pmatrix}\tfrac{1}{7}\\[6pt]\tfrac{3}{7}\end{pmatrix}e^{-t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias que se determinam pelas condições iniciais, se houver.]

Resposta

\vec{X}(t)=C_{1}\,e^{(-1+\sqrt{7})t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3-\sqrt{7}\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{(-1-\sqrt{7})t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3+\sqrt{7}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-2\end{pmatrix}e^{t} +\begin{pmatrix}\tfrac{1}{7}\\[6pt]\tfrac{3}{7}\end{pmatrix}e^{-t}]

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