Questão 46 (FGV - BANESTES - 2023). Suponha, que um empreendedor deseje investir em um projeto de expansão de sua empresa. Após análises internas, estimou-se que será necessário investir R$200 mil nesse projeto. No primeiro ano, o empreendedor apenas executa a expansão. Somente a partir do segundo ano, espera-se um fluxo de receita de \mathrm{R} \100$ mil por ano.
A taxa mínima de atratividade é de 10 \%. Logo, o payback descontado desse investimento será:
A) menor que 2 anos e meio.
B) entre 2 anos e meio e 3 anos.
C) entre 3 anos e 3 anos e meio.
D) entre 3 anos e meio e 4 anos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Investimento inicial: \;200\,000 (reais).
    • Fluxo de receita: \;100\,000 (reais) por ano, somente a partir do segundo ano. Ou seja, não há entrada no ano 1; há entradas nos instantes t=2,3,4,\dots.
    • Taxa mínima de atratividade: \;10\% ao ano (ou seja r=0{,}10).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar em qual das faixas propostas está o payback descontado do investimento:
      A) menor que 2 anos e meio;
      B) entre 2 anos e meio e 3 anos;
      C) entre 3 anos e 3 anos e meio;
      D) entre 3 anos e meio e 4 anos.

Passo 2

Explicando o conceito e a metodologia que vou usar (aula rápida): o payback descontado (discounted payback) é o tempo necessário para que a soma dos fluxos de caixa futuros, trazidos a valor presente com a taxa r, iguale o investimento inicial. A fórmula para trazer um fluxo CF_t recebido no instante t ao valor presente é
PV_t=\dfrac{CF_t}{(1+r)^t},
onde:
  • PV_t é o valor presente do fluxo recebido no tempo t;
  • CF_t é o valor do fluxo no tempo t (aqui CF_t=100\,000 para t\ge2);
  • r é a taxa de desconto ( 0{,}10 no caso);
  • t é o tempo em anos desde o momento do investimento (assumimos investimento no tempo 0).
Para achar o payback descontado:
  1. Calculo os PV_t ano a ano.
  2. Vou acumulando os PV_t até que a soma alcance 200\,000.
  3. Se a soma atinge o investimento exatamente no final de um ano, esse é o payback; se ultrapassa durante um ano, faço uma interpolação proporcional dentro desse ano usando o valor presente desse fluxo anual para achar a fração de ano necessária.

Passo 3

Calcular o valor presente do fluxo do ano 2 (primeiro ingresso):
PV_2=\dfrac{100\,000}{(1{,}10)^2}=\dfrac{100\,000}{1{,}21}\approx 82\,644{,}63.
Acumulado após o recebimento em t=2:
\text{Acumulado}_2 \approx 82\,644{,}63.

Passo 4

Calcular o valor presente do fluxo do ano 3:
PV_3=\dfrac{100\,000}{(1{,}10)^3}=\dfrac{100\,000}{1{,}331}\approx 75\,131{,}48.
Acumulado após t=3:
\text{Acumulado}_3 = \text{Acumulado}_2 + PV_3 \approx 82\,644{,}63 + 75\,131{,}48 = 157\,776{,}11.
Observação: após o final do ano 3 ainda não atingimos os 200\,000 necessários (ficamos com \approx157\,776{,}11).

Passo 5

Calcular o valor presente do fluxo do ano 4:
PV_4=\dfrac{100\,000}{(1{,}10)^4}=\dfrac{100\,000}{1{,}4641}\approx 68\,301{,}35.
Se somarmos até t=4:
\text{Acumulado}_4 = \text{Acumulado}_3 + PV_4 \approx 157\,776{,}11 + 68\,301{,}35 = 226\,077{,}46.
Portanto, o acumulado ultrapassa os 200\,000 durante o quarto ano. Logo, o payback descontado está entre 3 e 4 anos.

Passo 6

Agora faço a interpolação linear dentro do ano 4 para achar a fração do quarto ano necessária. O faltante ao final do ano 3 é
\text{Faltante} = 200\,000 - \text{Acumulado}_3 \approx 200\,000 - 157\,776{,}11 = 42\,223{,}89.
Como o valor presente do fluxo que entra no ano 4 (considerado integralmente no final de ano 4) é PV_4\approx 68\,301{,}35, a fração do ano 4 necessária (aproximação por interpolação) é
\text{Fracão do ano 4} \approx \dfrac{42\,223{,}89}{68\,301{,}35} \approx 0{,}6185.ã
Assim o payback descontado aproximado é
\text{Payback descontado} \approx 3 + 0{,}6185 = 3{,}6185\\ \text{anos}.

Passo 7

Interpretação final: 3{,}6185 anos é entre 3{,}5 anos e 4 anos. Portanto, dentre as opções dadas a correta é a letra D.

Resposta

D) entre 3{,}5 anos e 4 anos.

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