EXEMPLO 11: Uma carga elétrica Q está distribuída uniformemente em torno de um fio retilíneo ou sobre uma barra fina de comprimento 2 a. Calcule o potencial ao longo da reta perpendicular passando no centro da barra num ponto P, situado a uma distância x

Passo 1

O enunciado dá uma barra fina de comprimento 2a centrada na origem, com carga total Q distribuída uniformemente sobre ela. Pede-se o potencial elétrico num ponto P que fica sobre a reta perpendicular ao centro da barra, a uma distância x. O conteúdo necessário é o cálculo de potencial de uma distribuição linear de carga, usando
\varphi(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int \frac{\mathrm{d}q}{r}\,.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas tal que a barra se estende de z=-a a z=+a ao longo do eixo z, e P está em (0,x,0). A densidade linear de carga é \displaystyle \lambda = \frac{Q}{2a},
logo um elemento de carga é
\mathrm{d}q = \lambda\,\mathrm{d}z = \frac{Q}{2a}\,\mathrm{d}z.
A distância do elemento \mathrm{d}q em z até P é
\displaystyle r = \sqrt{x^2 + z^2}\,.
Assim o potencial em P é
\displaystyle \varphi(x) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{z=-a}^{z=+a}\frac{\mathrm{d}q}{r} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{2a}\int_{-a}^{+a}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{x^2+z^2}}\,.

Passo 3

Precisamos calcular a integral
\int_{-a}^{+a}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{x^2+z^2}}\,.
Usamos a primitiva conhecida
\int\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{x^2+z^2}} =\ln\bigl(z+\sqrt{x^2+z^2}\bigr)+C\,.

Passo 4

Avaliando entre z=-a e z=+a, com S=\sqrt{a^2+x^2}, vem
\int_{-a}^{+a}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{x^2+z^2}} =\Bigl[\ln\bigl(z+S\bigr)\Bigr]_{-a}^{+a} =\ln\bigl(a+S\bigr)-\ln\bigl(-a+S\bigr)\,.
Como S-a>0 e (a+S)(S-a)=x^2, obtemos
\ln\bigl(a+S\bigr)-\ln\bigl(S-a\bigr) =2\,\ln\!\bigl(\tfrac{S+a}{x}\bigr)\,.

Passo 5

Substituindo de volta em \varphi(x):
\varphi(x) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{2a}\;\times 2\,\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt{a^2+x^2}+a}{x}\bigr) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{a}\,\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{a^2+x^2}+a}{x}\Bigr)\,.

Resposta

\boxed{ \varphi(x) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{a} \;\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{a^2+x^2}+a}{x}\Bigr) }

Exercícios relacionados