EXEMPLO 11 O motor
permite a ação de uma força no cabo dada por
, onde
é a quantidade em metros de cabo enrolado pelo motor. A polia da figura tem massa
, raio
e raio de giração em relação ao ponto
de
. Calcule a velocidade do caixote de massa
50 kg após ser elevado do repouso em
. Adotar
e desprezar escorregamento do cabo na polia.
Passo 1
O enunciado pede a velocidade do caixote após ser elevado do repouso por
. As informações dadas são:
- Força no cabo exercida pelo motor:
(N), onde (m) é a quantidade de cabo enrolado pelo motor; devemos usar variando de até . - Caixote de massa
. - Polia com massa
, raio e raio de giração em relação a : . - Abertura inicial: repouso (velocidade inicial zero).
- Adoção de
. - Desprezar escorregamento do cabo na polia (logo
, onde é a velocidade linear do caixote e a velocidade angular da polia).
O que se pede explicitamente: calcular a velocidade final do caixote
quando ele já subiu
.
Passo 2
Escolha do método e princípios usados (explicação didática):
- Vamos usar o princípio do trabalho e energia (teorema do trabalho-energia): o trabalho total realizado por forças externas sobre o sistema entre dois instantes é igual à variação da energia cinética do sistema. Por que esse método? Porque a força do motor é variável com
— é mais direto integrar o trabalho dessa força do que escrever equações de força com torque e aceleração variável. Além disso, devemos incluir a energia de rotação da polia; o teorema do trabalho-energia lida facilmente com energia translacional + rotacional. - Fórmulas fundamentais que usaremos:
- Trabalho de uma força variável ao longo de
: . Aqui é a força que age na direção do deslocamento. - Energia cinética translacional de um corpo de massa
com velocidade : . - Energia cinética rotacional de um corpo com momento de inércia
e velocidade angular : . - Relação entre raio de giração e momento de inércia:
, onde é a massa do corpo e é o raio de giração em relação ao eixo considerado. - Condição de não deslizamento entre cabo e polia:
(velocidade linear do cabo = velocidade periférica da polia).
- Trabalho de uma força variável ao longo de
- Aplicação ao sistema: trabalho fornecido pelo motor
. O peso do caixote realiza trabalho negativo igual a . O aumento total da energia cinética é a soma da energia translacional do caixote e da energia rotacional da polia. Como partimos do repouso, variação de energia cinética = energia cinética final.
Passo 3
Cálculo do trabalho realizado pelo motor na subida de
até
.
Trabalhamos a integral
Calcule a integral passo a passo:
porque
e
(verifique:
).
Avalie entre e
:
Avalie entre
Agora substituímos
:
Calcule numericamente usando
:
Passo 4
Trabalho (ou variação de energia potencial) devido ao peso do caixote:
- O peso
realiza trabalho negativo sobre o caixote quando ele sobe . Esse trabalho é
Substituindo os valores:
Passo 5
Energia cinética final do sistema (caixote + polia):
- Energia cinética translacional do caixote:
- Momento de inércia da polia usando raio de giração:
- Energia cinética rotacional da polia, usando
:
Substituindo números:
Calcule a constante:
logo
- Energia cinética total final:
Passo 6
Aplicando o teorema trabalho-energia entre o início (repouso) e o estado final:
Substitua os termos já calculados:
Calcule o lado esquerdo:
Logo
Isolando
:
Tire a raiz quadrada para obter
:
Passo 7
Breto de incentivo e verificação rápida: a velocidade obtida é razoável dada a energia disponível (trabalho do motor) e o peso do caixote; a contribuição rotacional da polia reduz um pouco a velocidade final em comparação ao caso sem rotação. Boa! Você conseguiu atravessar todas as etapas: integrar trabalho, montar energia rotacional com raio de giração e aplicar o teorema do trabalho-energia.