EXEMPLO 11 O motor M permite a ação de uma força no cabo dada por P=800\left(3-2 e^{-x}\right) (N), onde x é a quantidade em metros de cabo enrolado pelo motor. A polia da figura tem massa M_{p}=10 \mathrm{~kg}, raio r=0,3 \mathrm{~m} e raio de giração em relação ao ponto O de k_{O}=0,21 m. Calcule a velocidade do caixote de massa M_{c}= 50 kg após ser elevado do repouso em h=2 \mathrm{~m}. Adotar g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e desprezar escorregamento do cabo na polia.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do caixote após ser elevado do repouso por h=2\\ \mathrm{m}. As informações dadas são:
  • Força no cabo exercida pelo motor: P(x)=800\left(3-2e^{-x}\right) (N), onde x (m) é a quantidade de cabo enrolado pelo motor; devemos usar x variando de 0 até h.
  • Caixote de massa M_{c}=50\\ \mathrm{kg}.
  • Polia com massa M_{p}=10\\ \mathrm{kg}, raio r=0{,}3\\ \mathrm{m} e raio de giração em relação a O: k_{O}=0{,}21\\ \mathrm{m}.
  • Abertura inicial: repouso (velocidade inicial zero).
  • Adoção de g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Desprezar escorregamento do cabo na polia (logo v=r\omega, onde v é a velocidade linear do caixote e \omega a velocidade angular da polia).
O que se pede explicitamente: calcular a velocidade final do caixote v quando ele já subiu h=2\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Escolha do método e princípios usados (explicação didática):
  • Vamos usar o princípio do trabalho e energia (teorema do trabalho-energia): o trabalho total realizado por forças externas sobre o sistema entre dois instantes é igual à variação da energia cinética do sistema. Por que esse método? Porque a força do motor é variável com x — é mais direto integrar o trabalho dessa força do que escrever equações de força com torque e aceleração variável. Além disso, devemos incluir a energia de rotação da polia; o teorema do trabalho-energia lida facilmente com energia translacional + rotacional.
  • Fórmulas fundamentais que usaremos:
    • Trabalho de uma força variável ao longo de x: \displaystyle W=\int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx. Aqui F(x) é a força que age na direção do deslocamento.
    • Energia cinética translacional de um corpo de massa m com velocidade v: \displaystyle K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2} m v^2.
    • Energia cinética rotacional de um corpo com momento de inércia I e velocidade angular \omega: \displaystyle K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2} I \omega^2.
    • Relação entre raio de giração e momento de inércia: \displaystyle I = M k^2, onde M é a massa do corpo e k é o raio de giração em relação ao eixo considerado.
    • Condição de não deslizamento entre cabo e polia: \displaystyle v = r\,\omega (velocidade linear do cabo = velocidade periférica da polia).
  • Aplicação ao sistema: trabalho fornecido pelo motor \;W_{\text{motor}}=\displaystyle\int_{0}^{h} P(x)\,dx. O peso do caixote realiza trabalho negativo igual a -M_{c} g h. O aumento total da energia cinética é a soma da energia translacional do caixote e da energia rotacional da polia. Como partimos do repouso, variação de energia cinética = energia cinética final.

Passo 3

Cálculo do trabalho realizado pelo motor na subida de 0 até h.
Trabalhamos a integral
W_{\text{motor}}=\int_{0}^{h} 800\left(3-2e^{-x}\right)\,dx.
Calcule a integral passo a passo:
\int 800\left(3-2e^{-x}\right)\,dx=800\left(3x+2e^{-x}\right)+C,
porque \displaystyle\int 3\,dx=3x e \displaystyle\int -2e^{-x}\,dx=2e^{-x} (verifique: \frac{d}{dx}(2e^{-x})= -2e^{-x}).
Avalie entre 0 e h:
W_{\text{motor}}=800\Big(3h+2e^{-h}-(0+2e^{0})\Big)=800\big(3h-2+2e^{-h}\big).
Agora substituímos h=2:
W_{\text{motor}}=800\big(3\cdot 2-2+2e^{-2}\big)=800\big(6-2+2e^{-2}\big)=800\big(4+2e^{-2}\big).
Calcule numericamente usando e^{-2}\approx 0{,}135335283:
2e^{-2}\approx 0{,}27067057,
4+2e^{-2}\approx 4{,}27067057,
W_{\text{motor}}\approx 800\cdot 4{,}27067057\approx 3416{,}536456\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Trabalho (ou variação de energia potencial) devido ao peso do caixote:
  • O peso M_{c}g realiza trabalho negativo sobre o caixote quando ele sobe h. Esse trabalho é
W_{\text{peso}}=-M_{c} g h.
Substituindo os valores:
W_{\text{peso}}=-50\cdot 9{,}81\cdot 2=-981\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Energia cinética final do sistema (caixote + polia):
  • Energia cinética translacional do caixote:
K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2}M_{c}v^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 50\cdot v^{2}=25\,v^{2}.
  • Momento de inércia da polia usando raio de giração:
I_{O}=M_{p}k_{O}^{2}=10\cdot (0{,}21)^{2}=10\cdot 0{,}0441=0{,}441\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
  • Energia cinética rotacional da polia, usando \omega=v/r:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I_{O}\omega^{2}=\tfrac{1}{2}I_{O}\left(\frac{v}{r}\right)^{2}.
Substituindo números:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}441\cdot\left(\frac{v}{0{,}3}\right)^{2}=0{,}2205\cdot\frac{v^{2}}{0{,}09}.
Calcule a constante:
\frac{0{,}2205}{0{,}09}=2{,}45,
logo
K_{\text{rot}}=2{,}45\,v^{2}.
  • Energia cinética total final:
K_{\text{total}}=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}=25\,v^{2}+2{,}45\,v^{2}=27{,}45\,v^{2}.

Passo 6

Aplicando o teorema trabalho-energia entre o início (repouso) e o estado final:
W_{\text{motor}}+W_{\text{peso}}=\Delta K = K_{\text{total}}-0 = K_{\text{total}}.
Substitua os termos já calculados:
3416{,}536456 + (-981)=27{,}45\,v^{2}.
Calcule o lado esquerdo:
3416{,}536456-981=2435{,}536456.
Logo
27{,}45\,v^{2}=2435{,}536456.
Isolando v^{2}:
v^{2}=\frac{2435{,}536456}{27{,}45}\approx 88{,}726\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}}).
Tire a raiz quadrada para obter v:
v\approx \sqrt{88{,}726}\approx 9{,}42\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Breto de incentivo e verificação rápida: a velocidade obtida é razoável dada a energia disponível (trabalho do motor) e o peso do caixote; a contribuição rotacional da polia reduz um pouco a velocidade final em comparação ao caso sem rotação. Boa! Você conseguiu atravessar todas as etapas: integrar trabalho, montar energia rotacional com raio de giração e aplicar o teorema do trabalho-energia.

Resposta

\displaystyle v\approx 9{,}42\\ \mathrm{m/s}

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