EXEMPLO 18 Seja um polia dupla (massa
15 kg e raio de giração
) de duas rodas de raios
e
, respectivamente. Se o bloco
tem massa
e a massa total em
é
, determine a velocidade de
em
s após deixar o repouso. Adotar
.
Passo 1
Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
Dados:
O que pede:
Determinar a velocidade do bloco em
após soltar o sistema.
Determinar a velocidade do bloco
Observações do enunciado (implícitas):
- As cordas não escorregam nas superfícies e são inextensíveis.
- A polia dupla é um conjunto rígido com um único eixo; as duas rodas giram com a mesma velocidade angular
e aceleração angular . - As tensões nas duas cordas podem ser diferentes (
do lado de e do lado de ). - Adotaremos sinais consistentes e resolveremos as equações do movimento translacional para
e e a equação de rotação para a polia.
Passo 2
Escolher convenções de sinal e relações cinemáticas (restrições).
Convenção:
- Para o bloco
escolhemos sentido positivo para cima. - Para o bloco
escolhemos sentido positivo para baixo. - Para a polia escolhemos
quando a rotação produz o movimento de para baixo (isto garante que com sinal positivo se descer).
Relações cinemáticas entre acelerações lineares e aceleração angular:
Explicação rápida: quando a polia gira com aceleração angular
, um ponto da superfície do tambor de raio
tem aceleração linear
. Como as cordas estão presas às superfícies com raios diferentes, as acelerações lineares de cada bloco são proporcionais aos raios correspondentes.
Passo 3
Escrever as equações do movimento para cada corpo (Leis de Newton) e para a rotação da polia.
Para o bloco
(força para cima positiva):
Para o bloco
(força para baixo positiva):
Para a polia (torque resultante = momento de inércia
):
momento de inércia da polia em relação ao eixo:
Torque resultante (positiva no sentido que torna ): torque do lado de
tende a girar no sentido positivo e do lado de
no sentido oposto, logo
momento de inércia da polia em relação ao eixo:
Torque resultante (positiva no sentido que torna
Passo 4
Isolar
e
nas equações dos blocos e substituir na equação de torque.
De
:
De
:
Substituindo em
:
Desenvolvendo e agrupando termos com
:
Portanto:
Passo 5
Calcular numericamente o momento de inércia
e os termos do denominador e numerador.
Momento de inércia da polia:
Numerador:
Calcular os produtos:
Logo
Denominador:
Calcular cada termo:
Passo 6
Calcular
, a aceleração linear de
e a velocidade de
em
.
Aceleração angular:
Interpretação do sinal:
significa que a rotação efetiva tem sentido oposto ao escolhido como positivo; isso quer dizer que, com a convenção tomada, o bloco
se moverá para cima (isto é, no sentido negativo escolhido para
).
Aceleração linear de
(lembrando
, com sinal):
Significado: aceleração de
de magnitude
para cima.
Como o sistema parte do repouso e a aceleração é constante, a velocidade de
em
é
O sinal negativo indica movimento para cima; a velocidade escalar (módulo) é
.
Arredondando com duas casas decimais (consistentes com dados):
isto é,
sobe com velocidade de
após
.