Exemplo 12 - Considere os seguintes sinais senoidais:
Determine se cada sinal é periódico, e se for, encontre o seu período fundamental.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede para determinar, para cada sinal componente e para a soma, se são periódicos e, caso sejam, encontrar o período fundamental. Informações relevantes fornecidas: os argumentos angulares das funções trigonométricas são
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sinal senoidal ser periódico. Uma função senoidal da forma
ou
repete seus valores sempre que o argumento
aumenta em
. Isso dá a relação entre a pulsação (ou frequência angular)
e o período
:
Aqui
é a velocidade (em rad/s) com que o argumento avança quando
aumenta de uma unidade;
é o menor intervalo positivo de tempo após o qual a função volta ao mesmo valor (período fundamental). Essa fórmula vem do fato de que
e
.
Passo 3
Identificamos as frequências angulares das duas componentes:
Passo 4
Calculamos os períodos fundamentais de cada componente usando
.
Para a primeira componente:
Portanto a função
é periódica com período fundamental
.
Para a segunda componente:
Portanto
é periódica com período fundamental
.
Passo 5
Agora: quando a soma de duas funções periódicas é periódica? Seja
com período
e
com período
. A soma
será periódica se existir um
tal que
seja múltiplo inteiro de ambos
e
, ou seja, existam inteiros
tais que
O menor
com essa propriedade é o mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM em inglês) de
e
. Outro jeito de checar rapidamente é ver se a razão
é um número racional; se for, existe um MMC finito.
Passo 6
Calculamos a razão:
que é racional. Logo existe um período comum e a soma é periódica.
Passo 7
Encontramos o período fundamental da soma como o MMC de
e
. Podemos usar fatoração ou a fórmula
.
Fatorando:
e
. O MMC pega as potências primárias máximas:
. Pela outra fórmula,
e
. Então o menor
com
é
Passo 8
Verificação direta (para ficar tranquilo): calculemos as funções deslocadas em
.
pois
é múltiplo de
.
pois
também é múltiplo de
. Assim
. E como
é o menor múltiplo comum de
e
, não existe período positivo menor que
que sirva para ambas as componentes simultaneamente; logo
é o período fundamental da soma.
Resposta
x(t) é periódico com período fundamental
.