Exemplo 11 - Um sinal de tempo discreto x[n] é definido por
x[n]=\left\{\begin{array}{c} 1, n=1,2 \\\\ -1, n=-1,-2 \\\\ 0, n=0 e|n|>2 \end{array}\right.
Encontre y[n]=x[2 n+3].

Passo 1

O enunciado dá o sinal discreto x[n] definido por
x[n]=\left\{\begin{array}{rl} 1, & n=1,2\\[4pt] -1, & n=-1,-2\\[4pt] 0, & n=0\\ \text{e}\\ |n|>2 \end{array}\right.
e pede para encontrar y[n]=x[2n+3].
Perguntas que precisamos responder:
  • Para quais valores inteiros de n o argumento 2n+3 cai nas posições onde x é diferente de zero?
  • Quais são os valores de y[n] nesses n e quais são os valores para os demais n?
Informações relevantes do enunciado:
  • x[n] é não nulo somente em n=1,2,-1,-2 (valores e sinais conforme acima).
  • y[n] é definido substituindo a variável por 2n+3: ou seja, para cada n inteiro calculamos m=2n+3 e tomamos y[n]=x[m].]

Passo 2

Estratégia prática (sem ainda calcular): como x[m] só é diferente de zero quando m\in\{1,2,-1,-2\}, precisamos resolver as equações
2n+3 = m
para cada m\in\{1,2,-1,-2\}, e verificar quais soluções n são inteiras. Só os n inteiros geram valores válidos do sinal discreto. Para cada solução inteira, determinamos y[n]=x[m] usando a definição de x. Para quaisquer outros n, teremos y[n]=0.

Passo 3

Resolver para m=1:
2n+3=1 \Rightarrow 2n = -2 \Rightarrow n = -1.
Como n=-1 é inteiro, temos
y[-1] = x[1] = 1.

Passo 4

Resolver para m=2:
2n+3=2 \Rightarrow 2n = -1 \Rightarrow n = -\tfrac{1}{2}.
Aqui n=-\tfrac{1}{2} não é inteiro, portanto não existe nenhum n\in\mathbb{Z} tal que 2n+3=2. Logo, m=2 não contribui para y[n].

Passo 5

Resolver para m=-1:
2n+3=-1 \Rightarrow 2n = -4 \Rightarrow n = -2.
Como n=-2 é inteiro, temos
y[-2] = x[-1] = -1.

Passo 6

Resolver para m=-2:
2n+3=-2 \Rightarrow 2n = -5 \Rightarrow n = -\tfrac{5}{2}.
Novamente n=-\tfrac{5}{2} não é inteiro, então não há contribuição de m=-2.

Passo 7

Resumo dos resultados obtidos:
  • Para n=-1 obtemos y[-1]=1.
  • Para n=-2 obtemos y[-2]=-1.
  • Para qualquer outro n\in\mathbb{Z}, o argumento 2n+3 é um índice onde x vale 0, logo y[n]=0.
Verificação rápida: por exemplo, n=0\Rightarrow 2\cdot0+3=3 e como |3|>2 temos x[3]=0, então y[0]=0 — consistente com o resumo.

Passo 8

Escrever y[n] de forma compacta e final:
y[n]=\left\{\begin{array}{rl} 1, & n=-1\\[4pt] -1, & n=-2\\[4pt] 0, & \text{caso contrário} \end{array}\right.á]

Resposta

y[n]=\left\{\begin{array}{rl} 1, & n=-1\\[4pt] -1, & n=-2\\[4pt] 0, & \text{caso contrário} \end{array}\right.á]

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