Para quais valores inteiros de n o argumento 2n+3 cai nas posições onde x é diferente de zero?
Quais são os valores de y[n] nesses n e quais são os valores para os demais n?
Informações relevantes do enunciado:
x[n] é não nulo somente em n=1,2,-1,-2 (valores e sinais conforme acima).
y[n] é definido substituindo a variável por 2n+3: ou seja, para cada n inteiro calculamos m=2n+3 e tomamos y[n]=x[m].]
Passo 2
Estratégia prática (sem ainda calcular): como x[m] só é diferente de zero quando m\in\{1,2,-1,-2\}, precisamos resolver as equações
2n+3 = m
para cada m\in\{1,2,-1,-2\}, e verificar quais soluções n são inteiras. Só os n inteiros geram valores válidos do sinal discreto. Para cada solução inteira, determinamos y[n]=x[m] usando a definição de x. Para quaisquer outros n, teremos y[n]=0.
Passo 3
Resolver para m=1:
2n+3=1 \Rightarrow 2n = -2 \Rightarrow n = -1.
Como n=-1 é inteiro, temos
y[-1] = x[1] = 1.
Passo 4
Resolver para m=2:
2n+3=2 \Rightarrow 2n = -1 \Rightarrow n = -\tfrac{1}{2}.
Aqui n=-\tfrac{1}{2} não é inteiro, portanto não existe nenhum n\in\mathbb{Z} tal que 2n+3=2. Logo, m=2 não contribui para y[n].
Passo 5
Resolver para m=-1:
2n+3=-1 \Rightarrow 2n = -4 \Rightarrow n = -2.
Como n=-2 é inteiro, temos
y[-2] = x[-1] = -1.
Passo 6
Resolver para m=-2:
2n+3=-2 \Rightarrow 2n = -5 \Rightarrow n = -\tfrac{5}{2}.
Novamente n=-\tfrac{5}{2} não é inteiro, então não há contribuição de m=-2.
Passo 7
Resumo dos resultados obtidos:
Para n=-1 obtemos y[-1]=1.
Para n=-2 obtemos y[-2]=-1.
Para qualquer outro n\in\mathbb{Z}, o argumento 2n+3 é um índice onde x vale 0, logo y[n]=0.
Verificação rápida: por exemplo, n=0\Rightarrow 2\cdot0+3=3 e como |3|>2 temos x[3]=0, então y[0]=0 — consistente com o resumo.