Exemplo 10: A Blacktop Refining extrai minerais de minérios provenientes de dois locais diferentes em Montana.
  • Cada tonelada do minério tipo 1 contém 20 \% de cobre, 20 \% de zinco e 15 \% de magnésio.
  • Cada tonelada do minério tipo 2 contém 30 \% de cobre, 25 \% de zinco e 10 \% de magnésio.
O minério tipo 1 custa US 90 por tonelada, enquanto o minério tipo 2 custa US \(\ 120) por tonelada.
A Blacktop deseja comprar minério suficiente para extrair pelo menos 8 toneladas de cobre, 6 toneladas de zinco e 5 toneladas de magnésio, da maneira menos custosa possível.
Questões: a. Formule um modelo de programação linear (PL) para este problema. b. Esboce a região viável para este problema. c. Encontre a solução ótima.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
a. Formular um modelo de programação linear (PL) que minimize o custo de compra dos dois tipos de minério, garantindo pelo menos as quantidades mínimas de metais extraídos;
b. Esboçar a região viável do PL;
c. Encontrar a solução ótima (quantidade de cada minério a comprar e custo mínimo).
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
  • Teor por tonelada do minério tipo 1:
    • cobre: 20\%
    • zinco: 20\%
    • magnésio: 15\%
  • Teor por tonelada do minério tipo 2:
    • cobre: 30\%
    • zinco: 25\%
    • magnésio: 10\%
  • Preço:
    • minério tipo 1: US$ 90 por tonelada
    • minério tipo 2: US$ 120 por tonelada
  • Necessidades mínimas:
    • cobre: pelo menos 8 toneladas
    • zinco: pelo menos 6 toneladas
    • magnésio: pelo menos 5 toneladas
Estas são todas as informações relevantes do enunciado.

Passo 2

Escolha de variáveis (muito importante em PL):
  • Seja x_1 a quantidade (em toneladas) do minério tipo 1 a comprar.
  • Seja x_2 a quantidade (em toneladas) do minério tipo 2 a comprar.
Explicação do porquê: cada tonelada de minério fornece certas frações (percentuais) de metal; multiplicando a quantidade de tonelada pelo percentual (como número decimal) obtemos toneladas do metal extraído.
Conversão dos percentuais em coeficientes decimais:
  • 20\% = 0,20
  • 30\% = 0,30
  • 25\% = 0,25
  • 15\% = 0,15
  • 10\% = 0,10
Agora transformamos cada exigência mínima em uma desigualdade linear:
  • Cobre: cada tonelada de tipo 1 dá 0,20 t de cobre e cada tonelada de tipo 2 dá 0,30 t. Queremos pelo menos 8 t: 0,20x_1 + 0,30x_2 \ge 8.
  • Zinco: cada tonelada de tipo 1 dá 0,20 t e tipo 2 dá 0,25 t; pelo menos 6 t: 0,20x_1 + 0,25x_2 \ge 6.
  • Magnésio: cada tonelada de tipo 1 dá 0,15 t e tipo 2 dá 0,10 t; pelo menos 5 t: 0,15x_1 + 0,10x_2 \ge 5.
Condição natural de não negatividade:
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0.

Passo 3

Função objetivo (o que queremos minimizar):
  • Custo total = custo por tonelada do tipo 1 vezes x_1 mais custo por tonelada do tipo 2 vezes x_2.
  • Isto é: \text{Minimizar } Z = 90 x_1 + 120 x_2.
Explanação: minimizar Z significa comprar as quantidades de x_1,x_2 que satisfazem todas as restrições e que produzem o menor gasto possível.

Passo 4

Modelo de programação linear completo (resposta da alínea a):
\text{Minimize } Z = 90x_1 + 120x_2
sujeito a
0,20x_1 + 0,30x_2 \ge 8,
0,20x_1 + 0,25x_2 \ge 6,
0,15x_1 + 0,10x_2 \ge 5,
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0.

Passo 5

Como esboçar a região viável (resposta da alínea b) — procedimento e cálculos para desenhar as linhas limites:
Regra prática: para esboçar cada desigualdade do tipo a x_1 + b x_2 \ge c no primeiro quadrante, primeiro desenha-se a reta de igualdade a x_1 + b x_2 = c encontrando os interceptos com os eixos e depois determina-se qual lado da reta satisfaz a desigualdade (testando um ponto simples, normalmente (0,0) ou outro).
Vamos obter os interceptos (quando x_2=0 e quando x_1=0) para cada reta:
  • Reta do cobre: 0,20x_1 + 0,30x_2 = 8.
    • Se x_2=0: 0,20x_1 = 8 \Rightarrow x_1 = \dfrac{8}{0,20} = 40.
    • Se x_1=0: 0,30x_2 = 8 \Rightarrow x_2 = \dfrac{8}{0,30} = \dfrac{80}{3} \approx 26,666\ldots
  • Reta do zinco: 0,20x_1 + 0,25x_2 = 6.
    • Se x_2=0: 0,20x_1 = 6 \Rightarrow x_1 = \dfrac{6}{0,20} = 30.
    • Se x_1=0: 0,25x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = \dfrac{6}{0,25} = 24.
  • Reta do magnésio: 0,15x_1 + 0,10x_2 = 5.
    • Se x_2=0: 0,15x_1 = 5 \Rightarrow x_1 = \dfrac{5}{0,15} = \dfrac{500}{15} = \dfrac{100}{3} \approx 33,333\ldots
    • Se x_1=0: 0,10x_2 = 5 \Rightarrow x_2 = \dfrac{5}{0,10} = 50.
Para saber para que lado da reta é a região viável (o semiplano que satisfaz \ge), teste o ponto (0,0):
  • Para cobre: 0,20\cdot0 + 0,30\cdot0 = 0 < 8 (0,0) NÃO satisfaz, logo a região viável está do outro lado da reta (o lado mais afastado da origem).
  • Mesma conclusão para as outras duas restrições (todas têm RHS positivo e LHS em (0,0) é zero), então para cada reta o semiplano viável é o que está “para cima/à direita” da reta.
Portanto, ao desenhar no primeiro quadrante as três retas com os interceptos acima, a região viável é a interseção dos três semiplanos “acima/à direita” dessas retas. Essa região é não-vazia e é um conjunto convexo cujo bordo “inferior” (a fronteira mais próxima da origem) é formado por segmentos das retas, com vértices onde duas dessas retas (ou uma reta e um eixo) se intersectam. A região é não limitada (estende-se para cima/à direita), mas tem um “recanto” inferior com vértices que vamos agora determinar.

Passo 6

Encontrar os pontos extremo candidatos (vértices) — interseções das retas entre si e com os eixos, com cálculo passo a passo:
Interseções entre pares de restrições (resolver sistemas de duas equações lineares):
  1. Interseção entre cobre e zinco:
\begin{cases} 0,20x_1 + 0,30x_2 = 8,\\[4pt] 0,20x_1 + 0,25x_2 = 6. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(0,30-0,25)x_2 = 8-6 \Rightarrow 0,05x_2 = 2 \Rightarrow x_2 = \dfrac{2}{0,05} = 40.
Substituindo em, por exemplo, a primeira:
0,20x_1 + 0,30\cdot 40 = 8 \Rightarrow 0,20x_1 + 12 = 8 \Rightarrow 0,20x_1 = -4 \Rightarrow x_1 = -20.
Resultado: [(x_1,x_2)=(-20,40)), que é inválido pois x_1<0. Portanto essa interseção não pertence ao primeiro quadrante e não é um vértice viável.
  1. Interseção entre cobre e magnésio:
\begin{cases} 0,20x_1 + 0,30x_2 = 8,\\[4pt] 0,15x_1 + 0,10x_2 = 5. \end{cases}
Multiplique a segunda equação por 3\] para igualar o coeficiente de \[x_2:
0,45x_1 + 0,30x_2 = 15.
Subtraindo a primeira (aqui: segunda vezes 3 menos primeira):
(0,45-0,20)x_1 = 15-8 \Rightarrow 0,25x_1 = 7 \Rightarrow x_1 = \dfrac{7}{0,25} = 28.
Agora substitua em 0,20x_1 + 0,30x_2 = 8:
0,20\cdot 28 + 0,30x_2 = 8 \Rightarrow 5,6 + 0,30x_2 = 8 \Rightarrow 0,30x_2 = 2,4 \Rightarrow x_2 = \dfrac{2,4}{0,30} = 8.
Resultado: (x_1,x_2)=(28,8). Esse ponto é no primeiro quadrante e satisfaz as duas igualdades, logo é um vértice candidato.
  1. Interseção entre zinco e magnésio:
\begin{cases} 0,20x_1 + 0,25x_2 = 6,\\[4pt] 0,15x_1 + 0,10x_2 = 5. \end{cases}
Multiplique a primeira por 0,15\] e a segunda por \[0,20 (ou faça outro método); aqui uso eliminação através de multiplicações por números inteiros: multiplique a primeira por 3 e a segunda por 4:
\begin{cases} 0,60x_1 + 0,75x_2 = 18,\\[4pt] 0,60x_1 + 0,40x_2 = 20. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(0,75-0,40)x_2 = 18-20 \Rightarrow 0,35x_2 = -2 \Rightarrow x_2 = \dfrac{-2}{0,35} \approx -5,714\ldots
Valor negativo de (x_2] → interseção fora do primeiro quadrante → não viável.
Interseções com os eixos (já calculadas ao listar interceptos) que podem ser vértices candidatos:
  • Interseção da reta do cobre com x_2=0: (40,0).
  • Interseção da reta do magnésio com x_1=0: (0,50).
    (Outras interseções com eixos como (30,0) da reta do zinco não são viáveis porque não satisfazem todas as restrições simultaneamente; o ponto viável sobre o eixo deve satisfazer todas as desigualdades, então as únicas extremidades relevantes no primeiro quadrante são (40,0) e (0,50).)
Resumo dos vértices candidatos viáveis (no primeiro quadrante):
  • (40,0) — obtido quando só o cobre está justo e x_2=0.
  • (0,50) — obtido quando só o magnésio está justo e x_1=0.
  • (28,8) — interseção das retas do cobre e do magnésio (ambas justas).]

Passo 7

Avaliar a função objetivo Z=90x_1+120x_2 em cada vértice candidato (passo essencial: por teorema fundamental da PL, para um problema linear em número finito de variáveis, o ótimo ocorre em um vértice extremo do politopo viável):
  1. Em (40,0):
Z = 90\cdot 40 + 120\cdot 0 = 3600.
  1. Em (0,50):
Z = 90\cdot 0 + 120\cdot 50 = 6000.
  1. Em (28,8):
Z = 90\cdot 28 + 120\cdot 8 = 2520 + 960 = 3480.
Comparação: 3480 < 3600 < 6000. Portanto, o menor custo entre esses vértices é Z=3480 em (x_1,x_2)=(28,8).

Passo 8

Verificação final de que (28,8) realmente satisfaz todas as restrições (para garantir que não houve erro de cálculo):
  • Cobre: 0,20\cdot 28 + 0,30\cdot 8 = 5,6 + 2,4 = 8 → OK (igual a 8).
  • Zinco: 0,20\cdot 28 + 0,25\cdot 8 = 5,6 + 2 = 7,6 \ge 6 → OK.
  • Magnésio: 0,15\cdot 28 + 0,10\cdot 8 = 4,2 + 0,8 = 5 → OK (igual a 5).
Conclusão: (28,8) é factível e fornece o custo mínimo Z_{\min}=3480. A solução é única entre os vértices considerados — se houvesse uma aresta inteira de ótimos, teríamos dois vértices com mesmo custo; não é o caso aqui.

Resposta

(a) Modelo PL:
\text{Minimize } Z = 90x_1 + 120x_2
sujeito a
0,20x_1 + 0,30x_2 \ge 8,
0,20x_1 + 0,25x_2 \ge 6,
0,15x_1 + 0,10x_2 \ge 5,
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0.
(b) Região viável: interseção dos semiplanos definidos por
0,20x_1 + 0,30x_2 \ge 8,\qquad 0,20x_1 + 0,25x_2 \ge 6,\qquad 0,15x_1 + 0,10x_2 \ge 5,\qquad x_1,x_2\ge0.
Esboço/descrição: no primeiro quadrante, desenhar as retas com interceptos
\text{cobre: }(40,0)\text{ e }\Bigl(0,\tfrac{80}{3}\Bigr)\approx(0,26,666\ldots),
\text{zinco: }(30,0)\text{ e }(0,24),
\text{magnésio: }\Bigl(\tfrac{100}{3},0\Bigr)\approx(33,333\ldots,0)\text{ e }(0,50).é
O conjunto viável é o semiplano acima/à direita de cada reta; o bordo inferior relevante tem vértices (40,0),(28,8),(0,50) e a região é não limitada (estende-se para cima/à direita).
(c) Solução ótima: comprar x_1=28 toneladas do minério tipo 1 e x_2=8 toneladas do minério tipo 2; custo mínimo Z_{\min}=\$\,3480.

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