Exemplo 13.0.1. Calcule
, onde
é a metade superior do círculo unitário
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a metade superior do círculo unitário dado por
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Não há orientação explicitada (mas para integrais com
a orientação não altera o valor).
Passo 2
Vamos usar a fórmula geral para integrar uma função escalar
ao longo de uma curva
parametrizada por
:
Explicando essa fórmula de forma clara:
-
e são as coordenadas da curva em função do parâmetro ; -
e são as derivadas em relação a ; -
é a velocidade da parametrização, isto é, o elemento de comprimento expresso em função de ; - os limites
e são o intervalo do parâmetro que percorre toda a curva .
Passo 3
Parametrizamos a semicircunferência superior do círculo unitário de forma natural usando o ângulo
:
Justificativa: quando
vai de
a
obtemos todos os pontos da metade superior do círculo
.
Calculamos as derivadas:
Calculamos as derivadas:
A velocidade é
portanto
. Isso simplifica muito a integral.
Passo 4
Substituímos
,
e
na fórmula:
Separei a integral em duas parcelas para facilitar:
Passo 5
Calcule a primeira parcela:
Então a contribuição da primeira parte é
.
Passo 6
Calcule a segunda parcela por substituição. Tome
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Isso é
Passo 7
Somando as duas parcelas obtidas:
Portanto a integral pedida vale
. Força aí — tá quase na mão!