Seja f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} uma função complexa holomorfa em todo o plano complexo. Admita que \left|f^{\prime}\right| seja constante em \mathbb{C}. Mostre que f é um polinômio complexo de grau 1 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Dada uma função f: \mathbb{C}\to\mathbb{C} que é holomorfa em todo o plano complexo (ou seja, f é inteira).
  • Sabe-se que \left|f^{\prime}(z)\right| é constante em todo \mathbb{C}. Em outras palavras, existe uma constante c\ge 0 tal que \left|f^{\prime}(z)\right|=c para todo z\in\mathbb{C}.
  • Pedido: mostrar que f é um polinômio complexo de grau 1 (isto é, da forma f(z)=az+b com a,b\in\mathbb{C}; observe que, se a=0, f é constante — vou tratar esse caso também).
Nenhuma outra informação será assumida além do enunciado acima.

Passo 2

Primeira observação útil (fácil e importante): como f é holomorfa em \mathbb{C}, sua derivada f^{\prime} também é uma função holomorfa em \mathbb{C}. Expressão curta e clara: f inteira \Rightarrow f^{\prime} inteira.
Agora, a hipótese \left|f^{\prime}(z)\right|=c para todo z diz que f^{\prime} é uma função inteira e limitada (bounded): seu módulo nunca ultrapassa c. Uma ferramenta padrão e muito poderosa para funções inteiras e limitadas é o Teorema de Liouville, que diz:
\text{Se }g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\text{ é inteira e limitada, então }g\text{ é constante.}éãé
Vou explicar e provar Liouville de forma enxuta e didática utilizando o que chamamos de fórmulas de Cauchy (ferramenta básica de análise complexa), porque é uma prova curta e instructiva.

Passo 3

Prova do Teorema de Liouville (usando a fórmula integral de Cauchy / estimativa de Cauchy), passo a passo didático:
  • Suponha que g:\mathbb{C}\to\mathbb{C} seja holomorfa em todo o plano e que exista M>0 com \left|g(z)\right|\le M para todo z\in\mathbb{C}.
  • A fórmula integral de Cauchy (uma fórmula básica) afirma, para toda bola centrada em z_0 de raio R>0,
g'(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|w-z_0|=R}\frac{g(w)}{(w-z_0)^2}\,dw.
  • Tomamos o módulo dessa expressão e usamos uma estimativa simples. No contorno |w-z_0|=R temos |(w-z_0)^2|=R^2 e |g(w)|\le M. Então
|g'(z_0)| \le \frac{1}{2\pi}\cdot (\text{comprimento do círculo}) \cdot \frac{M}{R^2}.í
O comprimento do círculo |w-z_0|=R é 2\pi R. Substituindo,
|g'(z_0)| \le \frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi R \cdot \frac{M}{R^2} = \frac{M}{R}.
  • Esta desigualdade vale para todo R>0. Fazendo R\to\infty, a margem direita \frac{M}{R}\to 0. Concluímos que |g'(z_0)|=0, logo g'(z_0)=0.
  • Como z_0 era arbitrário em \mathbb{C}, obtemos g'\equiv 0 em \mathbb{C}. Assim g é constante.
Isso conclui a prova de Liouville de forma direta e elementar.

Passo 4

Aplicando Liouville à nossa função: tome g=f^{\prime}. Sabemos que f^{\prime} é inteira (por derivada de função inteira) e que \left|f^{\prime}(z)\right|=c para todo z, ou seja, f^{\prime} é limitada. Pelo Teorema de Liouville, f^{\prime} deve ser constante. Portanto existe a\in\mathbb{C} tal que, para todo z\in\mathbb{C},
f^{\prime}(z)=a.

Passo 5

Integramos a igualdade f^{\prime}(z)=a. Como a é constante, a primitiva é imediata: existe b\in\mathbb{C} tal que, para todo z,
f(z)=az+b.
Portanto f é um polinômio (de grau no máximo 1). Se a\neq 0 então o grau é exatamente 1. Se a=0 então f é constante (grau 0); isso corresponde ao caso em que a constante c=\left|f^{\prime}\right| é zero.

Resposta

f(z)=az+b com a,b\in\mathbb{C}.\nSe \left|f^{\prime}\right|\equiv 0 então a=0 (função constante, grau 0); caso contrário a\neq 0 e o grau de f é 1.

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