Seja
uma função complexa holomorfa em todo o plano complexo. Admita que
seja constante em
. Mostre que
é um polinômio complexo de grau 1 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Dada uma função
que é holomorfa em todo o plano complexo (ou seja, é inteira). - Sabe-se que
é constante em todo . Em outras palavras, existe uma constante tal que para todo . - Pedido: mostrar que
é um polinômio complexo de grau (isto é, da forma com ; observe que, se , é constante — vou tratar esse caso também).
Nenhuma outra informação será assumida além do enunciado acima.
Passo 2
Primeira observação útil (fácil e importante): como
é holomorfa em
, sua derivada
também é uma função holomorfa em
. Expressão curta e clara:
inteira
inteira.
Agora, a hipótese
para todo
diz que
é uma função inteira e limitada (bounded): seu módulo nunca ultrapassa
. Uma ferramenta padrão e muito poderosa para funções inteiras e limitadas é o Teorema de Liouville, que diz:
Vou explicar e provar Liouville de forma enxuta e didática utilizando o que chamamos de fórmulas de Cauchy (ferramenta básica de análise complexa), porque é uma prova curta e instructiva.
Passo 3
Prova do Teorema de Liouville (usando a fórmula integral de Cauchy / estimativa de Cauchy), passo a passo didático:
- Suponha que
seja holomorfa em todo o plano e que exista com para todo . - A fórmula integral de Cauchy (uma fórmula básica) afirma, para toda bola centrada em
de raio ,
- Tomamos o módulo dessa expressão e usamos uma estimativa simples. No contorno
temos e . Então
O comprimento do círculo
é
. Substituindo,
- Esta desigualdade vale para todo
. Fazendo , a margem direita . Concluímos que , logo . - Como
era arbitrário em , obtemos em . Assim é constante.
Isso conclui a prova de Liouville de forma direta e elementar.
Passo 4
Aplicando Liouville à nossa função: tome
. Sabemos que
é inteira (por derivada de função inteira) e que
para todo
, ou seja,
é limitada. Pelo Teorema de Liouville,
deve ser constante. Portanto existe
tal que, para todo
,
Passo 5
Integramos a igualdade
. Como
é constante, a primitiva é imediata: existe
tal que, para todo
,
Portanto
é um polinômio (de grau no máximo
). Se
então o grau é exatamente
. Se
então
é constante (grau
); isso corresponde ao caso em que a constante
é zero.