Exemplo 13.0.1. Calcule \int_{\gamma} 2 x+x^{2} y d s, onde \gamma é a metade superior do círculo unitário x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\gamma} \bigl(2x + x^{2}y\bigr)\,ds,
onde \gamma é a metade superior do círculo unitário dado por
x^{2}+y^{2}=1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) curva \(\gamma\) é a semicircunferência superior do círculo unitário;}éêíá
\text{(ii) integrando é a função escalar }f(x,y)=2x+x^{2}y;\quad \text{a integral é com respeito a }ds.éçãé
Não há orientação explicitada (mas para integrais com ds a orientação não altera o valor).

Passo 2

Vamos usar a fórmula geral para integrar uma função escalar f(x,y) ao longo de uma curva \gamma parametrizada por t:
\int_{\gamma} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
Explicando essa fórmula de forma clara:
  • x(t) e y(t) são as coordenadas da curva em função do parâmetro t;
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas em relação a t;
  • \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é a velocidade da parametrização, isto é, o elemento de comprimento ds expresso em função de dt;
  • os limites a e b são o intervalo do parâmetro que percorre toda a curva \gamma.

Passo 3

Parametrizamos a semicircunferência superior do círculo unitário de forma natural usando o ângulo t:
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad t\in[0,\pi].
Justificativa: quando t vai de 0 a \pi obtemos todos os pontos da metade superior do círculo x^{2}+y^{2}=1.
Calculamos as derivadas:
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
A velocidade é
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1,
portanto ds = 1\cdot dt = dt. Isso simplifica muito a integral.

Passo 4

Substituímos x(t), y(t) e ds na fórmula:
\int_{\gamma}\bigl(2x + x^{2}y\bigr)\,ds = \int_{0}^{\pi}\bigl(2\cos t + (\cos t)^{2}\sin t\bigr)\,dt.
Separei a integral em duas parcelas para facilitar:
\int_{0}^{\pi}2\cos t\,dt \;+\; \int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\,\sin t\,dt.

Passo 5

Calcule a primeira parcela:
\int_{0}^{\pi}2\cos t\,dt = 2\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{\pi} = 2(\sin\pi-\sin 0)=2(0-0)=0.
Então a contribuição da primeira parte é 0.

Passo 6

Calcule a segunda parcela por substituição. Tome
u=\cos t \quad\Rightarrow\quad du=-\sin t\,dt \quad\Rightarrow\quad \sin t\,dt = -du.
Quando t=0 temos u=\cos 0=1. Quando t=\pi temos u=\cos\pi=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\,\sin t\,dt = \int_{t=0}^{t=\pi} u^{2}\,(\sin t\,dt) = \int_{u=1}^{u=-1} u^{2}(-du).
Isso é
\int_{1}^{-1} -u^{2}\,du = -\biggl[\frac{u^{3}}{3}\biggr]_{1}^{-1} = -\left(\frac{(-1)^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}\right) = -\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right) = -\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}.

Passo 7

Somando as duas parcelas obtidas:
0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}.
Portanto a integral pedida vale \tfrac{2}{3}. Força aí — tá quase na mão!

Resposta

\dfrac{2}{3}

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