Exemplo 14: Calcular:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,-1)}\left(x^{3} y+x^{2} y^{3}-2 x y+4\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(2,-1)}\bigl(x^{3}y + x^{2}y^{3} - 2xy + 4\bigr).
Como essa expressão é um polinômio em (x,y), a função
f(x,y)=x^{3}y + x^{2}y^{3} - 2xy + 4
é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

Pela continuidade de f, temos
\lim_{(x,y)\to(2,-1)}f(x,y) \;=\; f(2,-1).

Passo 3

Calculando f(2,-1):
f(2,-1) =2^3\cdot(-1)+2^2\cdot(-1)^3-2\cdot2\cdot(-1)+4 =-8-4+4+4=-4.

Resposta

-4

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