Exemplo 14: Calcular:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \sqrt{x+y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(0,2)}\sqrt{x+y}.
O conteúdo envolvido é limites em duas variáveis e continuidade de funções compostas.

Passo 2

Definimos f(x,y)=\sqrt{x+y}. O domínio de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y\ge0\},
e no ponto (0,2) temos 0+2=2>0, ou seja, (0,2) é interior ao domínio.

Passo 3

A função g(t)=\sqrt{t} é contínua para t>0 e h(x,y)=x+y é contínua em \mathbb{R}^2. Logo, a composição
f(x,y)=g\bigl(h(x,y)\bigr)
é contínua em (0,2). Pelo teorema da continuidade,
\lim_{(x,y)\to(0,2)}f(x,y)=f(0,2).

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,2)}\sqrt{x+y}=\sqrt{2}.

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