Exemplo 14: Dada a função y=f(x)=\frac{3 x-4}{2-x}, encontre sua inversa x=g(y).

Passo 1

O enunciado pede para inverter a função
y = f(x) = \frac{3x - 4}{2 - x}
isto é, expressar x em função de y. Vamos resolver a equação y = \frac{3x - 4}{2 - x} para x.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (2 - x) para eliminar o denominador:
y\,(2 - x) = 3x - 4.

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo e recolhendo termos que contenham x de um lado:
2y - yx = 3x - 4 \quad\Longrightarrow\quad - yx - 3x = -4 - 2y.

Passo 4

Fatoramos x no lado esquerdo:
x\,(-y - 3) = -4 - 2y.

Passo 5

Isolamos x dividindo pelos coeficientes:
x = \frac{-4 - 2y}{-y - 3}.

Passo 6

Simplificando os sinais:
x = \frac{4 + 2y}{y + 3}.

Resposta

A função inversa é
g(y) = \frac{2y + 4}{y + 3}.

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