Exemplo 11: Das f(x)=\sqrt{x} e g(x)=x-3, encontre:
a) (g \circ f)(x)=g(f(x))
b) D(g \circ f)
c) (f \circ g)(x)=f(g(x))
d) D(f \circ g)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\sqrt{x},\quad g(x)=x-3
e pede as composições (g\circ f)(x) e (f\circ g)(x) e seus respectivos domínios. Para resolver isso, usamos a definição de composição de funções e lembramos que a raiz quadrada exige argumento não-negativo.

Passo 2

Para (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr) substituímos f(x)=\sqrt{x} em g:
(g\circ f)(x)=g(\sqrt{x})=\sqrt{x}-3.
O domínio de g\circ f é o conjunto de x em que f(x) está definido e em que g aceita f(x). Como f(x)=\sqrt{x} exige x\ge0 e g está definido em todos os reais, temos
D(g\circ f)=[0,\infty).

Passo 3

Para (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) substituímos g(x)=x-3 em f:
(f\circ g)(x)=f(x-3)=\sqrt{x-3}.
O domínio de f\circ g é o conjunto de x tais que g(x)=x-3\ge0, pois a raiz só existe para argumentos não-negativos. Logo,
D(f\circ g)=[3,\infty).

Resposta

a) (g\circ f)(x)=\sqrt{x}-3
b) D(g\circ f)=[0,\infty)
c) (f\circ g)(x)=\sqrt{x-3}
d) D(f\circ g)=[3,\infty)

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