Exercício: Para cada função trigonométricas (
), defina um intervalo no qual a função tem inversa.
Passo 1
O enunciado pede que, para cada função trigonométrica dada, a gente escolha um intervalo de seu domínio em que ela seja estritamente monotônica (logo injetora) e cubra toda sua imagem habitual. Assim podemos definir a inversa ali. Como funções trigonométricas são periódicas, a ideia é restringir o domínio a um “ramo” onde elas não se repetem e vão de uma ponta a outra de sua imagem.
Passo 2
Para
observamos que:
é estritamente crescente em
,
e nesse intervalo atinge todos os valores de .
Logo em ela é injetora e define
.
e nesse intervalo atinge todos os valores de
Logo em
Passo 3
Para
notamos que:
é estritamente decrescente em
,
cobrindo também todo .
Portanto, restrita a , ela é injetora e define
.
cobrindo também todo
Portanto, restrita a
Passo 4
Para
e
:
é estritamente crescente em
,
cobrindo , e assim ali se define
.
é estritamente decrescente em
,
cobrindo , e ali se define
.
cobrindo
cobrindo
Passo 5
Para
e
:
em
é injetora porque não se repete e cobre
, definindo
.
De modo análogo, em
é injetora e cobre , definindo
.
De modo análogo,
é injetora e cobre