Exercício: Para cada função trigonométricas ( f(x)=\operatorname{sen} x, \cos x, \operatorname{tg} x, \cot g, \operatorname{sec} x, \cos \operatorname{sec} x ), defina um intervalo no qual a função tem inversa.

Passo 1

O enunciado pede que, para cada função trigonométrica dada, a gente escolha um intervalo de seu domínio em que ela seja estritamente monotônica (logo injetora) e cubra toda sua imagem habitual. Assim podemos definir a inversa ali. Como funções trigonométricas são periódicas, a ideia é restringir o domínio a um “ramo” onde elas não se repetem e vão de uma ponta a outra de sua imagem.

Passo 2

Para f(x)=\sin x observamos que: \sin x é estritamente crescente em \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
e nesse intervalo atinge todos os valores de [-1,1].
Logo em \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] ela é injetora e define \arcsin.

Passo 3

Para f(x)=\cos x notamos que: \cos x é estritamente decrescente em \left[0,\pi\right],
cobrindo também todo [-1,1].
Portanto, restrita a \left[0,\pi\right], ela é injetora e define \operatorname{arccos}.

Passo 4

Para f(x)=\tan x e f(x)=\cot x: \tan x é estritamente crescente em \displaystyle\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),
cobrindo \mathbb{R}, e assim ali se define \arctan. \cot x é estritamente decrescente em \displaystyle\left(0,\pi\right),
cobrindo \mathbb{R}, e ali se define \arccot.

Passo 5

Para f(x)=\operatorname{sec} x e f(x)=\csc x: \operatorname{sec} x em \displaystyle\left[0,\pi\right]\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\} é injetora porque não se repete e cobre (-\infty,-1]\cup[1,\infty), definindo \operatorname{arcsec}.
De modo análogo, \csc x em \displaystyle\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\}
é injetora e cobre (-\infty,-1]\cup[1,\infty), definindo \operatorname{arccsc}.

Resposta

\sin x: \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] \cos x: \left[0,\pi\right] \tan x: \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) \cot x: \left(0,\pi\right) \operatorname{sec} x: \displaystyle\left[0,\pi\right]\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\} \csc x: \displaystyle\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\}

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