Exemplo 14: A transformação linear identidade I: V \rightarrow V definida por I(\vec{v})=\vec{v}, para todo \vec{v} \in V. Determine a imagem e o núcleo da transformação identidade.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear identidade I: V \to V definida por I(\vec{v})=\vec{v} para todo \vec{v}\in V.
O que a questão pede:
  • Determinar a imagem de I, isto é \operatorname{Im}(I).
  • Determinar o núcleo de I, isto é \ker(I).
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra da transformação é \,I(\vec{v})=\vec{v}\, (cada vetor é enviado em si mesmo).
  • O espaço vetorial de partida e chegada é o mesmo: V.

Passo 2

Definições essenciais (vamos mastigar bem para a prova):
  • A imagem de uma transformação linear T: V\to W é o conjunto de todos os vetores em W que aparecem como T(\vec{v}) para algum \vec{v}\in V. Em notação,
\operatorname{Im}(T)=\{\,T(\vec{v}) \mid \vec{v}\in V\,\}.
  • O núcleo (ou kernel) de T é o conjunto dos vetores de V que são levados ao vetor zero em W. Em notação,
\ker(T)=\{\,\vec{v}\in V \mid T(\vec{v})=\vec{0}\,\},
onde \vec{0} é o vetor nulo de W.
Observações úteis para prova:
  • Para mostrar igualdade entre conjuntos costuma-se fazer dupla inclusão: mostrar A\subseteq B e B\subseteq A.
  • Para o núcleo, normalmente resolve-se a equação T(\vec{v})=\vec{0}.
  • Para a imagem, verifica-se quais vetores em W podem ser escritos como T(\vec{v}).

Passo 3

Determinar \operatorname{Im}(I).
Argumento passo a passo:
  • Por definição, \operatorname{Im}(I)=\{I(\vec{v})\mid \vec{v}\in V\}.
  • Mas I(\vec{v})=\vec{v}. Então
\operatorname{Im}(I)=\{\vec{v}\mid \vec{v}\in V\}.
  • O conjunto \{\vec{v}\mid \vec{v}\in V\} é exatamente V. Logo
\operatorname{Im}(I)=V.
Rigor via dupla inclusão (forma que cai bem na prova):
  • Primeiro, qualquer elemento de \operatorname{Im}(I) é um vetor de V porque I(\vec{v})\in V para todo \vec{v}\in V. Assim \operatorname{Im}(I)\subseteq V.
  • Segundo, dado qualquer \vec{w}\in V, existe \vec{v}=\vec{w}\in V tal que I(\vec{v})=\vec{w}. Logo \vec{w}\in\operatorname{Im}(I), isto é V\subseteq\operatorname{Im}(I).
  • Conclui-se \operatorname{Im}(I)=V.

Passo 4

Determinar \ker(I).
Argumento passo a passo:
  • Por definição, \ker(I)=\{\vec{v}\in V \mid I(\vec{v})=\vec{0}\}.
  • Como I(\vec{v})=\vec{v}, a condição I(\vec{v})=\vec{0} é equivalente a \vec{v}=\vec{0}.
  • Portanto
\ker(I)=\{\vec{v}\in V \mid \vec{v}=\vec{0}\}=\{\vec{0}\}.
Rigor via inclusões:
  • Se \vec{v}\in\ker(I) então I(\vec{v})=\vec{v}=\vec{0}, logo \vec{v}=\vec{0}. Assim \ker(I)\subseteq\{\vec{0}\}.
  • Por outro lado I(\vec{0})=\vec{0}, então \vec{0}\in\ker(I) e assim \{\vec{0}\}\subseteq\ker(I).
  • Logo \ker(I)=\{\vec{0}\}.

Passo 5

Consequências e interpretação (útil para entender e para a prova):
  • Como \operatorname{Im}(I)=V, a transformação I é sobrejetora (surjetiva): atinge todo o espaço de chegada.
  • Como \ker(I)=\{\vec{0}\}, a transformação I é injetora: só o vetor nulo vai para o vetor nulo.
  • Injetora + sobrejetora = bijetora; a identidade é bijeção (tem inversa, que é ela mesma).
  • Se o espaço V for finito‑dimensional, o Teorema da Dimensão (rank–nullity) dá
\dim(\operatorname{Im}(I))+\dim(\ker(I))=\dim(V),
o que aqui fica \dim(V)+0=\dim(V), consistente com o que encontramos.
Exemplo concreto (para fixar): para V=\mathbb{R}^2 e \vec{v}=(x,y), tem-se I(x,y)=(x,y). Então \operatorname{Im}(I)=\mathbb{R}^2 e \ker(I)=\{(0,0)\}.
Força aí — essa é daquelas questões que caem direto na prova porque é simples, mas gosto sempre de ver a dupla inclusão e a resolução I(\vec{v})=\vec{0} bem explicitada.

Resposta

Imagem: \displaystyle \operatorname{Im}(I)=V
Núcleo: \displaystyle \ker(I)=\{\vec{0}\}

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