Exemplo 14: A transformação linear identidade
definida por
, para todo
. Determine a imagem e o núcleo da transformação identidade.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear identidade
definida por
para todo
.
O que a questão pede:
O que a questão pede:
- Determinar a imagem de
, isto é . - Determinar o núcleo de
, isto é .
Informações relevantes fornecidas:
- A regra da transformação é
(cada vetor é enviado em si mesmo). - O espaço vetorial de partida e chegada é o mesmo:
.
Passo 2
Definições essenciais (vamos mastigar bem para a prova):
- A imagem de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores em que aparecem como para algum . Em notação,
- O núcleo (ou kernel) de
é o conjunto dos vetores de que são levados ao vetor zero em . Em notação,
onde
é o vetor nulo de
.
Observações úteis para prova:
- Para mostrar igualdade entre conjuntos costuma-se fazer dupla inclusão: mostrar
e . - Para o núcleo, normalmente resolve-se a equação
. - Para a imagem, verifica-se quais vetores em
podem ser escritos como .
Passo 3
Determinar
.
Argumento passo a passo:
- Por definição,
. - Mas
. Então
- O conjunto
é exatamente . Logo
Rigor via dupla inclusão (forma que cai bem na prova):
- Primeiro, qualquer elemento de
é um vetor de porque para todo . Assim . - Segundo, dado qualquer
, existe tal que . Logo , isto é . - Conclui-se
.
Passo 4
Determinar
.
Argumento passo a passo:
- Por definição,
. - Como
, a condição é equivalente a . - Portanto
Rigor via inclusões:
- Se
então , logo . Assim . - Por outro lado
, então e assim . - Logo
.
Passo 5
Consequências e interpretação (útil para entender e para a prova):
- Como
, a transformação é sobrejetora (surjetiva): atinge todo o espaço de chegada. - Como
, a transformação é injetora: só o vetor nulo vai para o vetor nulo. - Injetora + sobrejetora = bijetora; a identidade é bijeção (tem inversa, que é ela mesma).
- Se o espaço
for finito‑dimensional, o Teorema da Dimensão (rank–nullity) dá
o que aqui fica
, consistente com o que encontramos.
Exemplo concreto (para fixar): para
e
, tem-se
. Então
e
.
Força aí — essa é daquelas questões que caem direto na prova porque é simples, mas gosto sempre de ver a dupla inclusão e a resolução
bem explicitada.
Resposta
Imagem:
Núcleo:
Núcleo: