Exemplo 12 (RA2): Seja
a transformação linear definida por
Verifique se o vetor
pertence ao núcleo de
. Justifique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A transformação linear
definida por
- O vetor a verificar é
.
A pergunta é: verificar se
pertence ao núcleo de
. Ou seja, decidir se
está no conjunto formado por todos os vetores de
que são enviados por
para o vetor zero em
.
Passo 2
O que significa “pertencer ao núcleo de
”? Vou explicar claramente e de forma prática.
- Definição: o núcleo (ou núcleo nulo) de
é o conjunto
- Procedimento prático para verificar se um vetor
pertence a : - Calcular
. - Verificar se o resultado é o vetor zero de
, isto é . - Se for
, então ; caso contrário, .
- Calcular
Vou aplicar esse procedimento ao vetor
.
Passo 3
Calcular
componente a componente, substituindo
,
,
nas fórmulas dadas.
- Primeira componente:
- Segunda componente:
Portanto
Passo 4
Comparação com o vetor zero de
, que é
:
- Observa-se que a primeira coordenada de
é , e . Logo . - Pelo procedimento do Passo 2, isto significa que o vetor
não está no núcleo de .
Força aí — esse tipo de verificação é sempre direta: calcula-se
do vetor e checa se dá zero. Dá pra fazer rápido na prova.
Resposta
Não.
.