Exemplo 12 (RA2): Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x-y+4 z, 3 x+y+8 z)
Verifique se o vetor \vec{v}=(3,1,1) pertence ao núcleo de T. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(x-y+4z,\;3x+y+8z).
  • O vetor a verificar é \vec{v}=(3,1,1).
A pergunta é: verificar se \vec{v} pertence ao núcleo de T. Ou seja, decidir se \vec{v} está no conjunto formado por todos os vetores de \mathbb{R}^{3} que são enviados por T para o vetor zero em \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que significa “pertencer ao núcleo de T”? Vou explicar claramente e de forma prática.
  • Definição: o núcleo (ou núcleo nulo) de T é o conjunto
\ker(T)=\{\,\vec{u}\in\mathbb{R}^{3}\mid T(\vec{u})=(0,0)\,\}.
  • Procedimento prático para verificar se um vetor \vec{v} pertence a \ker(T):
    1. Calcular T(\vec{v}).
    2. Verificar se o resultado é o vetor zero de \mathbb{R}^{2}, isto é (0,0).
    3. Se for (0,0), então \vec{v}\in\ker(T); caso contrário, \vec{v}\notin\ker(T).
Vou aplicar esse procedimento ao vetor \vec{v}=(3,1,1).

Passo 3

Calcular T(3,1,1) componente a componente, substituindo x=3, y=1, z=1 nas fórmulas dadas.
  • Primeira componente:
x-y+4z = 3 - 1 + 4\cdot 1 = 3 - 1 + 4 = 6.
  • Segunda componente:
3x+y+8z = 3\cdot 3 + 1 + 8\cdot 1 = 9 + 1 + 8 = 18.
Portanto
T(3,1,1)=(6,18).

Passo 4

Comparação com o vetor zero de \mathbb{R}^{2}, que é (0,0):
  • Observa-se que a primeira coordenada de T(3,1,1) é 6, e 6\neq 0. Logo T(3,1,1)\neq(0,0).
  • Pelo procedimento do Passo 2, isto significa que o vetor \vec{v}=(3,1,1) não está no núcleo de T.
Força aí — esse tipo de verificação é sempre direta: calcula-se T do vetor e checa se dá zero. Dá pra fazer rápido na prova.

Resposta

Não. T(3,1,1)=(6,18)\neq(0,0).

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