EXemplo 15.2 Um gerador em usina hidrelétrica opera a 14 kV e 12 A . Um transformador eleva a tensão para 140 kV na linha de transmissão. Determine: (a) a corrente na linha; (b) a taxa de aquecimento por efeito Joule, considerando resistência de 170 \Omega na linha; (c) qual seria essa taxa se a tensão permanecesse em 14 kV .

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) a corrente na linha de transmissão quando a tensão é elevada para \,140\\ \text{kV}\,;
  • (b) a taxa de aquecimento por efeito Joule na linha, considerando resistência \,170\\ \Omega\,, nessa situação de transmissão a \,140\\ \text{kV}\,;
  • (c) a mesma taxa de aquecimento se a tensão fosse mantida em \,14\\ \text{kV}\, (ou seja, sem elevar a tensão).
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
V_{\text{gerador}} = 14\\ \text{kV},\qquad I_{\text{gerador}} = 12\\ \text{A},
V_{\text{linha}} = 140\\ \text{kV},\qquad R_{\text{linha}} = 170\\ \Omega.
Suponho o transformador ideal (o enunciado implícito em problemas assim): potência elétrica entregue pelo gerador é a mesma que chega à linha (desprezamos perdas no transformador).

Passo 2

Calcular a potência elétrica fornecida pelo gerador — isso ajuda porque, num transformador ideal, a potência na primária é igual à potência na secundária:
Aplico a fórmula da potência elétrica em corrente contínua ou em valor eficaz de corrente alternada (quando tensão e corrente são as mesmas fasores): P = V \cdot I,
onde \,V\, é a tensão (em volts) e \,I\, é a corrente (em ampères). Aqui V_{\text{gerador}}=14\\ \text{kV}=14{,}000\\ \text{V} e I_{\text{gerador}}=12\\ \text{A}. Então
P = 14{,}000 \cdot 12 = 168{,}000\\ \text{W} = 168\\ \text{kW}.
Interpretação: o gerador fornece \,168\\ \text{kW}\, que, no transformador ideal, também é a potência entregue à linha.

Passo 3

Encontrar a corrente na linha usando a conservação de potência no transformador ideal. Para um transformador ideal vale
V_{\text{prim}} I_{\text{prim}} = V_{\text{sec}} I_{\text{sec}}.
Aqui a primária é o gerador e a secundária é a linha, logo a corrente na linha \,I_{\text{linha}}\, é
I_{\text{linha}} = \frac{V_{\text{gerador}}\; I_{\text{gerador}}}{V_{\text{linha}}}.
Substituindo os números (todos em unidades SI):
I_{\text{linha}} = \frac{14{,}000 \cdot 12}{140{,}000} = \frac{168{,}000}{140{,}000} = 1{,}2\\ \text{A}.
Explicando em palavras: ao aumentar a tensão por um fator 10 (de 14\\ \text{kV} para 140\\ \text{kV}), a corrente cai por um fator 10 (de 12\\ \text{A} para 1{,}2\\ \text{A}), mantendo a mesma potência.

Passo 4

Calcular a potência dissipada por efeito Joule na linha quando \,V_{\text{linha}}=140\\ \text{kV}\, e \,I_{\text{linha}}=1{,}2\\ \text{A}.
A fórmula do aquecimento por efeito Joule (potência dissipada numa resistência ôhmica) é
P_{J} = I^{2} R,
onde \,I\, é a corrente que atravessa a resistência e \,R\, é a resistência em ohms. Substituindo \,I=1{,}2\\ \text{A} e \,R=170\\ \Omega,
P_{J} = (1{,}2)^{2}\cdot 170 = 1{,}44 \cdot 170 = 244{,}8\\ \text{W}.
Comentário útil para prova: também podemos calcular a queda de tensão na linha \,V_{\text{queda}}=I\!R = 1{,}2\cdot 170 = 204\\ \text{V}, muito pequena diante de 140{,}000\\ \text{V}, por isso a perda é pequena.

Passo 5

Calcular o caso sem elevação de tensão (tensão permanece em \,14\\ \text{kV}\,). Nesse caso a corrente na linha seria a mesma que sai do gerador, isto é \,I=12\\ \text{A}. Aplicando novamente P_{J}=I^{2}R com \,I=12\\ \text{A}:
P_{J} = 12^{2}\cdot 170 = 144 \cdot 170 = 24{,}480\\ \text{W} = 24{,}48\\ \text{kW}.
Observação prática e atenciosa: ao usar o transformador para elevar a tensão por um fator 10, a corrente cai por 10, então a perda por Joule (que depende de I^{2}) cai por 10^{2}=100. De fato,
\frac{24{,}480}{244{,}8}=100.

Resposta

(a) 1{,}2\\ \text{A}
(b) 244{,}8\\ \text{W}
(c) 24{,}480\\ \text{W}

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