\mathrm{Pl}-\mathrm{Um} capacitor de 1,5 \mu \mathrm{~F} é carregado \operatorname{com} 57 \mathrm{~V}. A fonte usada para carregar o capacitor é desligada, e um indutor de 12 mH é ligado entre os terminais do capacitor, formando um circuito LC, que começa a oscilar. Qual é a corrente máxima no indutor? Suponha que a resistência do circuito seja desprezível.
\begin{aligned} & U_{B, \max }=U_{E, \max } \Rightarrow \frac{L I^{2}}{2}=\frac{Q^{2}}{2 C} \\\ & I=\sqrt{\frac{Q^{2}}{L C}} \quad \text { como } \mathrm{q}=\mathrm{CV} \quad I=V \sqrt{\frac{C}{L}} \\\ & I=57 \sqrt{\frac{1,5 \times 10^{-6}}{12 \times 10^{-3}}}=640 \mathrm{~mA} \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a corrente máxima no indutor quando o circuito LC começa a oscilar e a resistência é desprezível.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
C=1{,}5\times10^{-6}\,\mathrm{F},\qquad V_{\text{inicial}}=57\,\mathrm{V},\qquad L=12\times10^{-3}\,\mathrm{H}.
Condições importantes: a fonte que carregou o capacitor foi desligada antes de ligar o indutor, o circuito é ideal (sem perda de energia), e portanto a energia armazenada no capacitor será trocada com a energia armazenada no indutor durante a oscilação.

Passo 2

Intuição física e energia envolvida (explicação didática): quando o capacitor está totalmente carregado (no instante inicial), toda a energia está na forma de energia elétrica armazenada no capacitor; no instante em que a corrente do indutor atinge seu máximo, a tensão no capacitor é zero e toda a energia está agora na forma magnética do indutor. Como não há perdas, a energia total é conservada. As fórmulas são:
energia do capacitor (em função da tensão):
U_E=\tfrac{1}{2}CV^2,
energia do indutor (em função da corrente):
U_B=\tfrac{1}{2}LI^2.
Aqui C é a capacitância em farads, V é a tensão em volts, L é a indutância em henrys e I é a corrente em ampères.

Passo 3

Aplicando conservação de energia: no instante de corrente máxima temos U_E=U_B. Portanto
\tfrac{1}{2}CV^2=\tfrac{1}{2}LI_{\max}^2.
Podemos simplificar os \tfrac{1}{2} e isolar I_{\max}. Isso dá:
LI_{\max}^2=CV^2\quad\Rightarrow\quad I_{\max}=V\sqrt{\frac{C}{L}}.
Explicação do passo: dividimos ambos os lados por L e tiramos raiz quadrada; a raiz fornece o valor positivo da corrente máxima (o sinal muda ao longo da oscilação, mas o enunciado pede a magnitude máxima).

Passo 4

Substituindo os valores numéricos (sempre mantendo as unidades no cálculo para não se confundir):
I_{\max}=57\sqrt{\frac{1{,}5\times10^{-6}}{12\times10^{-3}}}.
Calcule primeiro a razão dentro da raiz:
\frac{1{,}5\times10^{-6}}{12\times10^{-3}}=\frac{1{,}5}{12}\times10^{-6+3}=0{,}125\times10^{-3}=1{,}25\times10^{-4}.
Agora a raiz:
\sqrt{1{,}25\times10^{-4}}=\sqrt{1{,}25}\times10^{-2}\approx1{,}11803\times10^{-2}=0{,}0111803.
Multiplicando por 57:
I_{\max}=57\times0{,}0111803\approx0{,}63607\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento: o valor calculado é 0{,}63607\\ \mathrm{A}. Dado que os dados originais têm duas algarismos significativos (por exemplo 1{,}5\,\mu\mathrm{F}, 12\,\mathrm{mH}), faz sentido apresentar o resultado com duas algarismos significativos: I_{\max}\approx0{,}64\\ \mathrm{A}, o que corresponde a 640\\ \mathrm{mA}. Lembre-se: esse valor é o pico ideal sem perdas; em um circuito real com resistência a amplitude diminuiria com o tempo.

Resposta

I_{\max}=0{,}64\\ \mathrm{A}

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