Um circuito RLC série tem uma indutância
, uma capacitância
e uma resistência de
. (a) Em que instante t a amplitude das oscilações dá carga do circuito é 50% do valor inicial? (b) Quantas oscilações o circuito executou até esse instante?
a)
b)
a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Em que instante
a amplitude das oscilações da carga fica do valor inicial. - (b) Quantas oscilações o circuito executou até esse instante.
Dados fornecidos:
,
,
.
Também foi dada a expressão da carga amortecida:
Passo 2
Entendendo o decaimento da amplitude (a “envóltoria”):
- Na oscilação amortecida, o fator
é a envoltória que faz a amplitude decair exponencialmente com o tempo. - Para obter o tempo em que a amplitude ficou
da inicial basta igualar a envoltória a :
- Tomando logaritmo natural:
Aqui
é negativo, por isso
fica positivo.
Passo 3
Verificação do regime (importante para usar
):
- O regime é subamortecido (oscilações amortecidas) se
- Calculemos:
Como
, o circuito é de fato subamortecido e a fórmula com
vale.
Passo 4
Calcular o instante
onde a amplitude é
:
- Usando a fórmula do Passo 2:
- Substituindo valores:
- Em milissegundos:
Passo 5
Agora determinar quantas oscilações ocorreram até esse instante:
- A frequência angular amortecida é
- Calculamos os termos já encontrados:
- Período da oscilação amortecida:
- Número de oscilações até
:
Isto significa que o circuito executou cerca de
oscilações (ou seja,
oscilações completas e parte da
-ª).
Resposta
(a)
(b) oscilações
(b)