Um circuito RLC série tem uma indutância \mathrm{L}=12 \mathrm{mH}, uma capacitância \mathrm{C}=1,6 \mu \mathrm{F} e uma resistência de \mathrm{R}=1,5 \Omega. (a) Em que instante t a amplitude das oscilações dá carga do circuito é 50% do valor inicial? (b) Quantas oscilações o circuito executou até esse instante?
a) q=Q e^{-R t / 2 L} \cos \left(\omega^{\prime} t+\varphi\right)
\begin{aligned} & Q e^{-R t / 2 L}=0,50 Q \Rightarrow-\frac{R t}{2 L}=\ln 0,50 \\\ & \mathrm{t}=-\frac{2 L}{R} \ln 0,50=11 \mathrm{~ms} \end{aligned}
b)
\begin{aligned} & T=2 \pi / \omega \quad \text { e } \quad \omega=1 / \sqrt{L C} \\\ & \frac{\Delta t}{T}=\frac{\Delta t}{2 \pi \sqrt{L C}}=\frac{0,011}{2 \pi\left[\left(12 \times 10^{-3}\right)\left(1,6 \times 10^{-6}\right)\right]^{1 / 2}} \approx 13 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Em que instante t a amplitude das oscilações da carga fica 50\% do valor inicial.
  2. (b) Quantas oscilações o circuito executou até esse instante.
Dados fornecidos:
\displaystyle L=12\,\mathrm{mH}=\;12\times10^{-3}\,\mathrm{H}, \displaystyle C=1,6\,\mu\mathrm{F}=\;1{,}6\times10^{-6}\,\mathrm{F}, \displaystyle R=1{,}5\,\Omega.
Também foi dada a expressão da carga amortecida:
q(t)=Q\,e^{-Rt/(2L)}\cos\!\bigl(\omega' t+\varphi\bigr).

Passo 2

Entendendo o decaimento da amplitude (a “envóltoria”):
  • Na oscilação amortecida, o fator e^{-Rt/(2L)} é a envoltória que faz a amplitude decair exponencialmente com o tempo.
  • Para obter o tempo em que a amplitude ficou 50\% da inicial basta igualar a envoltória a 0{,}5:
Q\,e^{-Rt/(2L)}=0{,}5\,Q \quad\Rightarrow\quad e^{-Rt/(2L)}=0{,}5.
  • Tomando logaritmo natural:
-\frac{R t}{2L}=\ln 0{,}5 \quad\Rightarrow\quad t=-\frac{2L}{R}\ln 0{,}5.
Aqui \ln 0{,}5 é negativo, por isso t fica positivo.

Passo 3

Verificação do regime (importante para usar \cos(\omega' t)):
  • O regime é subamortecido (oscilações amortecidas) se
\left(\frac{R}{2L}\right)^2<\frac{1}{LC}.
  • Calculemos:
\frac{R}{2L}=\frac{1{,}5}{2\cdot 12\times10^{-3}}=\frac{1{,}5}{0{,}024}=62{,}5\\ \mathrm{s^{-1}},
\left(\frac{R}{2L}\right)^2=62{,}5^2=3\,906{,}25\\ \mathrm{s^{-2}}.
\frac{1}{LC}=\frac{1}{(12\times10^{-3})(1{,}6\times10^{-6})}=\frac{1}{1{,}92\times10^{-8}}=52\,083\,333{,}3\\ \mathrm{s^{-2}}.
Como 3\,906{,}25\ll 52\,083\,333{,}3, o circuito é de fato subamortecido e a fórmula com \cos(\omega' t) vale.

Passo 4

Calcular o instante t onde a amplitude é 50\%:
  • Usando a fórmula do Passo 2:
t=-\frac{2L}{R}\ln 0{,}5.
  • Substituindo valores:
\frac{2L}{R}=\frac{2\cdot 12\times10^{-3}}{1{,}5}=\frac{24\times10^{-3}}{1{,}5}=0{,}016\\ \mathrm{s}.
t=0{,}016\cdot(-\ln 0{,}5)=0{,}016\cdot 0{,}693147\ldots =0{,}01109035\\ \mathrm{s}.
  • Em milissegundos:
t\approx 11{,}09\\ \mathrm{ms}.

Passo 5

Agora determinar quantas oscilações ocorreram até esse instante:
  • A frequência angular amortecida é
\omega'=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^2}.
  • Calculamos os termos já encontrados:
\frac{1}{LC}=52\,083\,333{,}3\\ \mathrm{s^{-2}},\qquad \left(\frac{R}{2L}\right)^2=3\,906{,}25\\ \mathrm{s^{-2}}.
\omega'=\sqrt{52\,083\,333{,}3-3\,906{,}25}=\sqrt{52\,079\,427{,}08}\approx 7\,215{,}7\\ \mathrm{rad/s}.
  • Período da oscilação amortecida:
T'=\frac{2\pi}{\omega'}=\frac{2\pi}{7\,215{,}7}\approx 0{,}0008710\\ \mathrm{s}=0{,}8710\\ \mathrm{ms}.
  • Número de oscilações até t:
N=\frac{t}{T'}=\frac{0{,}01109035}{0{,}0008710}\approx 12{,}74.
Isto significa que o circuito executou cerca de 12{,}74 oscilações (ou seja, 12 oscilações completas e parte da 13-ª).

Resposta

(a) t\approx 11{,}09\\ \mathrm{ms}
(b) N\approx 12{,}74 oscilações

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