Exemplo 16. Dados os vetores
e
verificar se existem números
tais que:
25
IMEF - FURG
1.5. VETORES NO ESPAÇO
Solução:
IMEF - FURG
1.5. VETORES NO ESPAÇO
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado. Temos os vetores:
A pergunta é: existem números
tais que
Em outras palavras: é possível escrever o vetor
como combinação linear de
? Se sim, quais são os números
?
Passo 2
Transformar a combinação linear em equações para as componentes. Escrever a igualdade componente a componente:
Agora somamos as componentes à direita:
Somando essas três componentes obtemos o vetor
Igualando componente a componente com
obtemos o sistema linear:
Passo 3
Resolver o sistema começando pela equação mais simples. Da segunda equação temos diretamente:
Explico: essa equação é linear em
; para isolá-lo basta dividir ambos os lados por
.
Passo 4
Substituir
nas outras duas equações e resolver para
e
.
Substituindo na primeira equação:
Daqui isolamos
em função de
:
Substituindo
na terceira equação:
Agora substituímos
nessa última equação:
Desenvolvendo:
Finalmente obtemos
usando
:
Temos portanto os valores:
Passo 5
Verificação direta (sempre bom checar na prova). Calcular a combinação com estes coeficientes e ver se volta
.
Componente
:
Componente
:
Componente
:
As três componentes conferem com
. Portanto os coeficientes encontrados são corretos.