Exemplo 16. Dados os vetores \vec{u}=(1,0,3), \vec{v}=(2,2,-2) e \vec{w}=(-4,0,4) verificar se existem números a_{1}, a_{2}, a_{3} tais que:
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IMEF - FURG
1.5. VETORES NO ESPAÇO
Solução:
\begin{aligned} &(-4,-10,6)=a_{1}(1,0,3)+a_{2}(2,2,-2)+a_{3}(-4,0,4) \\\ &(-4,-10,6)=\left(a_{1}, 0,3 a_{1}\right)+\left(2 a_{2}, 2 a_{2},-2 a_{2}\right)+\left(-4 a_{3}, 0,4 a_{3}\right) \\\ &(-4,-10,6)=\left(a_{1}+2 a_{2}-4 a_{3}, 2 a_{2}, 3 a_{1}-2 a_{2}+4 a_{3}\right) \\\ &\left\{\begin{array}{l} a_{1}+2 a_{2}-4 a_{3}=-4 \\\\ 2 a_{2}=-10 \\\\ 3 a_{1}-2 a_{2}+4 a_{3}=6 \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado. Temos os vetores:
\vec{u}=(1,0,3),\qquad \vec{v}=(2,2,-2),\qquad \vec{w}=(-4,0,4)
A pergunta é: existem números a_{1},a_{2},a_{3} tais que
(-4,-10,6)=a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v}+a_{3}\vec{w} ?
Em outras palavras: é possível escrever o vetor (-4,-10,6) como combinação linear de \vec{u},\vec{v},\vec{w}? Se sim, quais são os números a_{1},a_{2},a_{3}?

Passo 2

Transformar a combinação linear em equações para as componentes. Escrever a igualdade componente a componente:
(-4,-10,6)=a_{1}(1,0,3)+a_{2}(2,2,-2)+a_{3}(-4,0,4).
Agora somamos as componentes à direita:
a_{1}(1,0,3)=\bigl(a_{1},0,3a_{1}\bigr),
a_{2}(2,2,-2)=\bigl(2a_{2},2a_{2},-2a_{2}\bigr),
a_{3}(-4,0,4)=\bigl(-4a_{3},0,4a_{3}\bigr).
Somando essas três componentes obtemos o vetor
\bigl(a_{1}+2a_{2}-4a_{3},\;2a_{2},\;3a_{1}-2a_{2}+4a_{3}\bigr).
Igualando componente a componente com (-4,-10,6) obtemos o sistema linear:
\begin{cases} a_{1}+2a_{2}-4a_{3}=-4,\\[4pt] 2a_{2}=-10,\\[4pt] 3a_{1}-2a_{2}+4a_{3}=6. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema começando pela equação mais simples. Da segunda equação temos diretamente:
2a_{2}=-10\quad\Rightarrow\quad a_{2}=-5.
Explico: essa equação é linear em a_{2}; para isolá-lo basta dividir ambos os lados por 2.

Passo 4

Substituir a_{2}=-5 nas outras duas equações e resolver para a_{1} e a_{3}.
Substituindo na primeira equação:
a_{1}+2(-5)-4a_{3}=-4
a_{1}-10-4a_{3}=-4
a_{1}-4a_{3}=6.
Daqui isolamos a_{1} em função de a_{3}:
a_{1}=6+4a_{3}.
Substituindo a_{2}=-5 na terceira equação:
3a_{1}-2(-5)+4a_{3}=6
3a_{1}+10+4a_{3}=6
3a_{1}+4a_{3}=-4.
Agora substituímos a_{1}=6+4a_{3} nessa última equação:
3(6+4a_{3})+4a_{3}=-4.
Desenvolvendo:
18+12a_{3}+4a_{3}=-4
18+16a_{3}=-4
16a_{3}=-22
a_{3}=-\dfrac{22}{16}=-\dfrac{11}{8}.
Finalmente obtemos a_{1} usando a_{1}=6+4a_{3}:
a_{1}=6+4\left(-\dfrac{11}{8}\right)=6-\dfrac{44}{8}=6-\dfrac{11}{2}=\dfrac{12}{2}-\dfrac{11}{2}=\dfrac{1}{2}.
Temos portanto os valores:
a_{1}=\dfrac{1}{2},\qquad a_{2}=-5,\qquad a_{3}=-\dfrac{11}{8}.

Passo 5

Verificação direta (sempre bom checar na prova). Calcular a combinação com estes coeficientes e ver se volta (-4,-10,6).
Componente x:
a_{1}+2a_{2}-4a_{3}=\dfrac{1}{2}+2(-5)-4\left(-\dfrac{11}{8}\right)
=\dfrac{1}{2}-10+\dfrac{44}{8}
=\dfrac{1}{2}-10+\dfrac{11}{2}
=\dfrac{12}{2}-10=6-10=-4.
Componente y:
2a_{2}=2(-5)=-10.
Componente z:
3a_{1}-2a_{2}+4a_{3}=3\cdot\dfrac{1}{2}-2(-5)+4\left(-\dfrac{11}{8}\right)
=\dfrac{3}{2}+10-\dfrac{44}{8}
=\dfrac{3}{2}+10-\dfrac{11}{2}
=\dfrac{-8}{2}+10=-4+10=6.
As três componentes conferem com (-4,-10,6). Portanto os coeficientes encontrados são corretos.

Resposta

a_{1}=\dfrac{1}{2}
a_{2}=-5
a_{3}=-\dfrac{11}{8}

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