Calcule o volume do paralelepípedo determinado por u=(2,1,4), v=(-1,0,2) e w= (1,2,3).
Resposta: Desenvolvendo em cofatores a partir da segunda linha, obtemos
\operatorname{det}\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 4 \\\\ -1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right]=-5-6=-11,
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V[u, v, w]=11

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(2,1,4), v=(-1,0,2) e w=(1,2,3).
Informações dadas:
  • u=(2,1,4)
  • v=(-1,0,2)
  • w=(1,2,3)
O que é pedido: o volume do paralelepípedo gerado por esses três vetores.

Passo 2

Conceito chave (o que vamos usar): o volume V do paralelepípedo gerado por três vetores em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (ou produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois). Em fórmula:
V = \left| u\cdot (v\times w)\right|.
Outra forma equivalente é usar o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores:
V = \left|\det\begin{pmatrix} u \\\ v \\\ w \end{pmatrix}\right| = \left|\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\\\ -1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\right|.
Explicando rápido: o determinante de uma matriz 3\times3 formada por três vetores dá o produto misto; o sinal do determinante indica orientação, e o módulo é o volume.

Passo 3

Escolha do método: vou calcular o determinante por desenvolvimento por cofatores ao longo da segunda linha. Motivo prático: a segunda linha tem um zero, o que torna a conta mais simples — é um método básico e rápido numa prova sem calculadora.

Passo 4

Fórmula do desenvolvimento por cofatores (para a linha i):
\det A = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} C_{ij}, \qquad C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor obtido ao eliminar a linha i e a coluna j (isto é, o determinante 2\times2 que sobra). Aqui usamos a linha i=2 (segunda linha), cujos elementos são a_{21}=-1, a_{22}=0, a_{23}=2.

Passo 5

Calcular o menor M_{21} (eliminando linha 2 e coluna 1). A matriz 2\times2 resultante é
\begin{pmatrix} 1 & 4 \\\\ 2 & 3 \end{pmatrix}.
O determinante desse menor é
M_{21} = 1\cdot 3 - 4\cdot 2 = 3 - 8 = -5.
O cofator correspondente é
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=(-1)^3\cdot(-5)=-1\cdot(-5)=5.
A contribuição de a_{21} ao determinante é
a_{21}C_{21}=(-1)\cdot 5 = -5.

Passo 6

Calcular o menor M_{22} (eliminando linha 2 e coluna 2). A matriz 2\times2 é
\begin{pmatrix} 2 & 4 \\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
M_{22} = 2\cdot 3 - 4\cdot 1 = 6 - 4 = 2.
O cofator é
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=(-1)^4\cdot 2 = 1\cdot 2 = 2.
A contribuição de a_{22} (que é 0) ao determinante é
a_{22}C_{22}=0\cdot 2 = 0.

Passo 7

Calcular o menor M_{23} (eliminando linha 2 e coluna 3). A matriz 2\times2 é
\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
M_{23} = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 4 - 1 = 3.
O cofator é
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=(-1)^5\cdot 3 = -1\cdot 3 = -3.
A contribuição de a_{23} (que é 2) ao determinante é
a_{23}C_{23}=2\cdot(-3) = -6.

Passo 8

Somando as contribuições da segunda linha temos o determinante:
\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\\\ -1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = (-5) + 0 + (-6) = -11.
Isto confirma o cálculo feito passo a passo.

Passo 9

Volume do paralelepípedo: como o volume é o módulo do determinante, temos
V = \left| -11 \right| = 11.
Pequeno cheque alternativo (opcional): calcular v\times w e depois u\cdot (v\times w) também dá -11, confirma o resultado.

Resposta

11

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