O enunciado pede para calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(2,1,4), v=(-1,0,2) e w=(1,2,3).
Informações dadas:
u=(2,1,4)
v=(-1,0,2)
w=(1,2,3)
O que é pedido: o volume do paralelepípedo gerado por esses três vetores.
Passo 2
Conceito chave (o que vamos usar): o volume V do paralelepípedo gerado por três vetores em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (ou produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois). Em fórmula:
V = \left| u\cdot (v\times w)\right|.
Outra forma equivalente é usar o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores:
V = \left|\det\begin{pmatrix} u \\\ v \\\ w \end{pmatrix}\right| = \left|\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\\\ -1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\right|.
Explicando rápido: o determinante de uma matriz 3\times3 formada por três vetores dá o produto misto; o sinal do determinante indica orientação, e o módulo é o volume.
Passo 3
Escolha do método: vou calcular o determinante por desenvolvimento por cofatores ao longo da segunda linha. Motivo prático: a segunda linha tem um zero, o que torna a conta mais simples — é um método básico e rápido numa prova sem calculadora.
Passo 4
Fórmula do desenvolvimento por cofatores (para a linha i):
\det A = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} C_{ij}, \qquad C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor obtido ao eliminar a linha i e a coluna j (isto é, o determinante 2\times2 que sobra). Aqui usamos a linha i=2 (segunda linha), cujos elementos são a_{21}=-1, a_{22}=0, a_{23}=2.
Passo 5
Calcular o menor M_{21} (eliminando linha 2 e coluna 1). A matriz 2\times2 resultante é