Exemplo 7. Encontre as componentes e o módulo (ou comprimento) do vetor de origem A(-3,4) e extremidade B(-5,2).
Solução: \vec{v}=\overrightarrow{A B}=B-A=(-5,2)-(-3,4)=(-2,-2) |\overrightarrow{A B}|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} u.c.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Encontrar as componentes do vetor de origem A(-3,4) e extremidade B(-5,2).
Calcular o módulo (comprimento) desse mesmo vetor.
Informações que o enunciado fornece:
Coordenadas do ponto de origem: A(-3,4).
Coordenadas do ponto de extremidade: B(-5,2).
Passo 2
O que significa "vetor de origem A e extremidade B"?
Significa o vetor que começa em A e vai até B. Denotamos esse vetor por \overrightarrow{AB}. Matematicamente, para pontos no plano, as componentes do vetor são obtidas subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B. A fórmula geral é:
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
Aqui x_A,y_A são as coordenadas de A e x_B,y_B são as de B. Essa operação dá as “mudanças” em x e y necessárias para ir de A a B.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
x_B-x_A = -5 - (-3),
y_B-y_A = 2 - 4.
Calcule passo a passo:
-5 - (-3) = -5 + 3 = -2,
2 - 4 = -2.
Portanto as componentes do vetor são
\overrightarrow{AB}=(-2,\,-2).
Passo 4
Interpretação geométrica rápida (ajuda na prova): a componente -2 na direção x significa “ir 2 unidades para a esquerda” e a componente -2 na direção y significa “ir 2 unidades para baixo”. Isso bate com os pontos: saindo de A(-3,4) e movendo (-2,-2) chega-se a B(-5,2).
Passo 5
Agora o módulo (comprimento) do vetor. A fórmula do módulo de um vetor \vec v=(v_x,v_y) no plano é dada pelo Teorema de Pitágoras:
|\vec v|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Aqui v_x é a componente horizontal e v_y a vertical. Essa fórmula diz que o comprimento é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas projeções horizontal e vertical do vetor.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao vetor \overrightarrow{AB}=(-2,-2):