Determine a equação da reta r_{2} que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r_{1}, onde:
r_{1}: y=4 x+5, \quad A=(4,1).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A reta r_{1} tem equação y=4x+5.
  • O ponto A tem coordenadas A=(4,1).
    O que se pede:
  • Determinar a equação da reta r_{2} que passa por A e é perpendicular a r_{1}.

Passo 2

Entendendo inclinações (coeficientes angulares) de retas e a condição de perpendicularidade.
Quando uma reta está escrita na forma
y = mx + b,
o número m é chamado coeficiente angular (ou inclinação) da reta. Ele indica quanto y varia quando x varia uma unidade: se x aumenta de 1, y aumenta aproximadamente m.
Para duas retas serem perpendiculares, os seus vetores diretores devem ser perpendiculares. Um vetor diretor para a reta y=mx+b é (1,m) (porque ao aumentar x em 1, y muda em m). Dois vetores (1,m_1) e (1,m_2) são perpendiculares quando o produto escalar é zero:
(1,m_1)\cdot(1,m_2)=1+m_1m_2=0.
Portanto, para retas perpendiculares vale a relação
m_1 m_2 = -1.
Isto significa que o coeficiente angular da reta perpendicular é o negativo do inverso do outro coeficiente (o “recíproco negativo”).

Passo 3

Aplicando à reta r_{1}.
A reta r_{1} está em forma y=4x+5, então seu coeficiente angular é
m_1 = 4.
O coeficiente angular m_2 da reta r_{2} perpendicular deve satisfazer
m_1 m_2 = -1 \quad\Rightarrow\quad 4\cdot m_2 = -1.
Assim
m_2 = -\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Montando a equação da reta r_{2} que passa por A=(4,1) e tem coeficiente angular m_2=-\tfrac{1}{4}.
Usamos a forma ponto-inclinação (ponto-declive):
y - y_0 = m (x - x_0),
onde (x_0,y_0) é um ponto da reta (aqui x_0=4,\\ y_0=1) e m é o coeficiente angular (aqui m=-\tfrac{1}{4}). Substituindo:
y - 1 = -\tfrac{1}{4}(x - 4).

Passo 5

Colocando em forma mais habitual (y = mx + b). Expandindo e simplificando a equação do passo anterior:
Primeiro expandir a direita:
y - 1 = -\tfrac{1}{4}x + 1.
Agora somar 1 em ambos os lados:
y = -\tfrac{1}{4}x + 2.
Podemos também escrever na forma geral Ax+By+C=0. Multiplicando por 4 para eliminar frações:
4y = -x + 8 \quad\Rightarrow\quad x + 4y - 8 = 0.

Resposta

y=-\tfrac{1}{4}x+2
x+4y-8=0

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