Determine a equação da reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
, onde:
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A reta
tem equação . - O ponto
tem coordenadas .
O que se pede: - Determinar a equação da reta
que passa por e é perpendicular a .
Passo 2
Entendendo inclinações (coeficientes angulares) de retas e a condição de perpendicularidade.
Quando uma reta está escrita na forma
o número
é chamado coeficiente angular (ou inclinação) da reta. Ele indica quanto
varia quando
varia uma unidade: se
aumenta de
,
aumenta aproximadamente
.
Para duas retas serem perpendiculares, os seus vetores diretores devem ser perpendiculares. Um vetor diretor para a reta
é
(porque ao aumentar
em
,
muda em
). Dois vetores
e
são perpendiculares quando o produto escalar é zero:
Portanto, para retas perpendiculares vale a relação
Isto significa que o coeficiente angular da reta perpendicular é o negativo do inverso do outro coeficiente (o “recíproco negativo”).
Passo 3
Aplicando à reta
.
A reta
está em forma
, então seu coeficiente angular é
O coeficiente angular
da reta
perpendicular deve satisfazer
Assim
Passo 4
Montando a equação da reta
que passa por
e tem coeficiente angular
.
Usamos a forma ponto-inclinação (ponto-declive):
onde
é um ponto da reta (aqui
) e
é o coeficiente angular (aqui
). Substituindo:
Passo 5
Colocando em forma mais habitual (y = mx + b). Expandindo e simplificando a equação do passo anterior:
Primeiro expandir a direita:
Agora somar
em ambos os lados:
Podemos também escrever na forma geral
. Multiplicando por
para eliminar frações: