Exemplo 17 (RA2): Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear definida por:
T(x, y)=(2 x+y, 3 x+2 y,-2 x-y)
Verifique se o vetor \vec{v}=(3,4,5) pertence a imagem de T. Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y)=(2x+y,\;3x+2y,\;-2x-y).
O vetor a testar é \vec{v}=(3,4,5). A pergunta é: verificar se existe um par (x,y)\in\mathbb{R}^2 tal que T(x,y)=\vec{v}; ou seja, se \vec{v} pertence à imagem de T.

Passo 2

Explicando a ideia prática: dizer que \vec{v}\) pertence à imagem de \(T\) significa que existe \((x,y)\) que satisfazem as três igualdades obtidas ao igualar as coordenadas de \(T(x,y)\) com as de \(\vec{v}\). Portanto devemos resolver o sistema \[\begin{cases} 2x+y=3,\\[4pt] 3x+2y=4,\\[4pt] -2x-y=5. \end{cases}
Este é um sistema de 3\] equações em \(2 incógnitas; pode ser consistente ou inconsistente. Vamos tentar resolver.]

Passo 3

Começo resolvendo as duas primeiras equações. Da primeira equação
y=3-2x.
Substituindo na segunda:
3x+2(3-2x)=4.
Desenvolvendo:
3x+6-4x=4 \quad\Rightarrow\quad -x+6=4 \quad\Rightarrow\quad -x=-2 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Então
y=3-2x=3-2\cdot2=3-4=-1.
Temos uma candidata solução (x,y)=(2,-1) que satisfaz as duas primeiras equações.

Passo 4

Agora verificamos a terceira equação com (x,y)=(2,-1). A terceira equação exige
-2x-y=5.
Calculando com (2,-1):
-2\cdot2-(-1)=-4+1=-3.
Portanto o lado esquerdo vale -3, enquanto o lado direito pedido é 5. Assim a terceira equação não é satisfeita: -3\neq5. Logo o sistema é inconsistente — não existe (x,y) que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.

Passo 5

Dou uma interpretação mais conceitual (útil na prova): a imagem de T é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores T(1,0) e T(0,1). Calculando:
T(1,0)=(2,3,-2),\qquad T(0,1)=(1,2,-1).
Repare que, em ambos os vetores geradores, a terceira coordenada é exatamente o negativo da primeira coordenada (por exemplo, em T(1,0) temos -2 = -1\cdot 2). Assim qualquer combinação linear a\,T(1,0)+b\,T(0,1) terá terceira coordenada igual a menos a primeira coordenada do mesmo vetor resultante. Em símbolos: para todo w\in\operatorname{Im}(T) vale
w_3 = -\,w_1.
Mas para \vec{v}=(3,4,5) temos v_1=3 e v_3=5, e claramente 5\neq -3. Isso mostra rapidamente que \vec{v} não pode estar na imagem de T.

Resposta

\vec{v}\notin\operatorname{Im}(T)

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