Exemplo 17 (RA2): Seja
a transformação linear definida por:
Verifique se o vetor
pertence a imagem de
. Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
O vetor a testar é
. A pergunta é: verificar se existe um par
tal que
; ou seja, se
pertence à imagem de
.
Passo 2
Explicando a ideia prática: dizer que
Este é um sistema de
incógnitas; pode ser consistente ou inconsistente. Vamos tentar resolver.]
Passo 3
Começo resolvendo as duas primeiras equações. Da primeira equação
Substituindo na segunda:
Desenvolvendo:
Então
Temos uma candidata solução
que satisfaz as duas primeiras equações.
Passo 4
Agora verificamos a terceira equação com
. A terceira equação exige
Calculando com
:
Portanto o lado esquerdo vale
, enquanto o lado direito pedido é
. Assim a terceira equação não é satisfeita:
. Logo o sistema é inconsistente — não existe
que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 5
Dou uma interpretação mais conceitual (útil na prova): a imagem de
é o subespaço de
gerado pelos vetores
e
. Calculando:
Repare que, em ambos os vetores geradores, a terceira coordenada é exatamente o negativo da primeira coordenada (por exemplo, em
temos
). Assim qualquer combinação linear
terá terceira coordenada igual a menos a primeira coordenada do mesmo vetor resultante. Em símbolos: para todo
vale
Mas para
temos
e
, e claramente
. Isso mostra rapidamente que
não pode estar na imagem de
.