Exemplo 18: Seja a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y)=(2 x+y, x-y, x+4 y). Determine:
a) O núcleo N(T) e sua dimensão, verifique se é injetora.
b) A imagem \operatorname{Im}(T) e sua dimensão, verifique se é sobrejetora.
c) Verifique o teorema da dimensão.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y)=(2x+y,\; x-y,\; x+4y).
As perguntas são:
(a) Determinar o núcleo N(T) (também escrito \ker(T)), sua dimensão e verificar se T é injetora.
(b) Determinar a imagem \operatorname{Im}(T), sua dimensão e verificar se T é sobrejetora.
(c) Verificar o teorema da dimensão (teorema do posto-nuloidade) para T.
Informações relevantes dadas: a fórmula de T permite escrever um sistema linear para encontrar o núcleo e permite obter as colunas da matriz que representa T (ou seja, T aplicado aos vetores canônicos de \mathbb{R}^2) para descrever a imagem.
Passo 2
O que é o núcleo e como achá-lo (explicação didática):
Definição: o núcleo de T é o conjunto de vetores da origem do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio. Ou seja,
Para achar \ker(T) substitui-se T(x,y)=(0,0,0) e resolve-se o sistema linear resultante nas incógnitas x e y.
Lembrete prático: se o único vetor no núcleo for (0,0) dizemos que \ker(T)=\{(0,0)\} e isso é exatamente a condição para T ser injetora (porque injetiva significa que só um vetor do domínio vai para cada imagem; em particular só o 0 do domínio vai para 0 do contradomínio).
Passo 3
Montando e resolvendo o sistema para o núcleo:
Queremos T(x,y)=(0,0,0)\). Escrevemos o sistema:
\[\begin{cases} 2x+y=0,\\[4pt] x-y=0,\\[4pt] x+4y=0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
Da segunda equação temos
x-y=0 \quad\Rightarrow\quad x=y.
Substituindo x=y\] na primeira equação:
\[2x+y=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+x=0 \quad\Rightarrow\quad 3x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.\]
- Como \(x=y, então y=0.
- Verificação na terceira equação:
x+4y=0 \quad\Rightarrow\quad 0+4\cdot 0=0,
que é satisfeita.
Portanto a única solução do sistema é (x,y)=(0,0).]
Passo 4
Conclusões sobre o núcleo e injetividade:
Logo
\ker(T)=\{(0,0)\}.
A dimensão de \ker(T) (a nulidade) é
\dim(\ker(T))=0,
pois o espaço contém apenas o vetor nulo.
Como \ker(T)=\{0\}, isso implica que T é injetora. (Relembrando: para transformações lineares entre espaços vetoriais, injetividade \iff núcleo trivial.)
Passo 5
O que é a imagem e como encontrá-la (explicação didática):
Definição: a imagem de T é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de algum vetor do domínio:
Para T definida por uma fórmula linear em coordenadas, uma maneira prática é tomar as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^2, porque as colunas correspondentes geram a imagem. Os vetores canônicos em \mathbb{R}^2 são e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
Isto significa que qualquer vetor na imagem é uma combinação linear
a(2,1,1)+b(1,-1,4),\qquad a,b\in\mathbb{R}.
Passo 7
Determinando a dimensão da imagem (posto) e verificando independência linear:
Para saber a dimensão da imagem precisamos verificar se os dois vetores (2,1,1)\) e \((1,-1,4)\) são linearmente independentes.
- Considere a combinação linear nula:
\[a(2,1,1)+b(1,-1,4)=(0,0,0).
Da segunda equação a-b=0\Rightarrow a=b\].
- Substituindo em \(2a+b=0 dá 2a+a=3a=0\Rightarrow a=0. Então b=0.
- Só existe a solução trivial a=b=0, portanto os vetores são linearmente independentes.
- Conclusão: os dois vetores formam uma base de \operatorname{Im}(T) (pois geram a imagem e são independentes). Logo
\dim(\operatorname{Im}(T))=2.]
Passo 8
Conclusões sobre sobrejetividade:
Para T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 ser sobrejetora precisamos que \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3, isto é, \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(\mathbb{R}^3)=3.
Aqui \dim(\operatorname{Im}(T))=2<3, portanto T não é sobrejetora.
Passo 9
Verificando o teorema do posto-nuloidade (rank-nullity):
Teorema: para uma transformação linear T:V\to W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T)).
No nosso caso V=\mathbb{R}^2 então \dim(V)=2. Já encontramos \dim(\ker(T))=0 e \dim(\operatorname{Im}(T))=2. Substituindo:
2 = 0 + 2,
que é verdade. Portanto o teorema da dimensão está verificado.
Resposta
(a) \ker(T)=\{(0,0)\}, \dim(\ker(T))=0. T é injetora.
(b) \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(2,1,1),\,(1,-1,4)\}, \dim(\operatorname{Im}(T))=2. T não é sobrejetora.
(c) Teorema da dimensão: \;2=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=0+2, verificado.