Exemplo 18: Seja a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y)=(2 x+y, x-y, x+4 y). Determine:
a) O núcleo N(T) e sua dimensão, verifique se é injetora.
b) A imagem \operatorname{Im}(T) e sua dimensão, verifique se é sobrejetora.
c) Verifique o teorema da dimensão.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y)=(2x+y,\; x-y,\; x+4y).
As perguntas são:
  • (a) Determinar o núcleo N(T) (também escrito \ker(T)), sua dimensão e verificar se T é injetora.
  • (b) Determinar a imagem \operatorname{Im}(T), sua dimensão e verificar se T é sobrejetora.
  • (c) Verificar o teorema da dimensão (teorema do posto-nuloidade) para T.
Informações relevantes dadas: a fórmula de T permite escrever um sistema linear para encontrar o núcleo e permite obter as colunas da matriz que representa T (ou seja, T aplicado aos vetores canônicos de \mathbb{R}^2) para descrever a imagem.

Passo 2

O que é o núcleo e como achá-lo (explicação didática):
  • Definição: o núcleo de T é o conjunto de vetores da origem do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio. Ou seja,
\ker(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0,0)\}.
  • Para achar \ker(T) substitui-se T(x,y)=(0,0,0) e resolve-se o sistema linear resultante nas incógnitas x e y.
  • Lembrete prático: se o único vetor no núcleo for (0,0) dizemos que \ker(T)=\{(0,0)\} e isso é exatamente a condição para T ser injetora (porque injetiva significa que só um vetor do domínio vai para cada imagem; em particular só o 0 do domínio vai para 0 do contradomínio).

Passo 3

Montando e resolvendo o sistema para o núcleo:
Queremos T(x,y)=(0,0,0)\). Escrevemos o sistema: \[\begin{cases} 2x+y=0,\\[4pt] x-y=0,\\[4pt] x+4y=0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
  • Da segunda equação temos
x-y=0 \quad\Rightarrow\quad x=y.
  • Substituindo x=y\] na primeira equação: \[2x+y=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+x=0 \quad\Rightarrow\quad 3x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.\] - Como \(x=y, então y=0.
    - Verificação na terceira equação:
x+4y=0 \quad\Rightarrow\quad 0+4\cdot 0=0,
que é satisfeita.
Portanto a única solução do sistema é (x,y)=(0,0).]

Passo 4

Conclusões sobre o núcleo e injetividade:
  • Logo
\ker(T)=\{(0,0)\}.
  • A dimensão de \ker(T) (a nulidade) é
\dim(\ker(T))=0,
pois o espaço contém apenas o vetor nulo.
  • Como \ker(T)=\{0\}, isso implica que T é injetora. (Relembrando: para transformações lineares entre espaços vetoriais, injetividade \iff núcleo trivial.)

Passo 5

O que é a imagem e como encontrá-la (explicação didática):
  • Definição: a imagem de T é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de algum vetor do domínio:
\operatorname{Im}(T)=\{T(x,y)\in\mathbb{R}^3 \mid (x,y)\in\mathbb{R}^2\}.
  • Para T definida por uma fórmula linear em coordenadas, uma maneira prática é tomar as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^2, porque as colunas correspondentes geram a imagem. Os vetores canônicos em \mathbb{R}^2 são e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
  • Calculamos T(e_1) e T(e_2).

Passo 6

Calculando as colunas que geram a imagem:
  • Aplicando T aos vetores canônicos:
T(1,0)= (2\cdot1+0,\;1-0,\;1+4\cdot0)=(2,1,1).
T(0,1)=(2\cdot0+1,\;0-1,\;0+4\cdot1)=(1,-1,4).
  • Portanto
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(2,1,1),\; (1,-1,4)\}.
Isto significa que qualquer vetor na imagem é uma combinação linear
a(2,1,1)+b(1,-1,4),\qquad a,b\in\mathbb{R}.

Passo 7

Determinando a dimensão da imagem (posto) e verificando independência linear:
  • Para saber a dimensão da imagem precisamos verificar se os dois vetores (2,1,1)\) e \((1,-1,4)\) são linearmente independentes. - Considere a combinação linear nula: \[a(2,1,1)+b(1,-1,4)=(0,0,0).
Isto gera o sistema em a,b:
\begin{cases} 2a+b=0,\\[4pt] a-b=0,\\[4pt] a+4b=0. \end{cases}
  • Da segunda equação a-b=0\Rightarrow a=b\]. - Substituindo em \(2a+b=0 2a+a=3a=0\Rightarrow a=0. Então b=0.
    - Só existe a solução trivial a=b=0, portanto os vetores são linearmente independentes.
    - Conclusão: os dois vetores formam uma base de \operatorname{Im}(T) (pois geram a imagem e são independentes). Logo
\dim(\operatorname{Im}(T))=2.]

Passo 8

Conclusões sobre sobrejetividade:
  • Para T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 ser sobrejetora precisamos que \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3, isto é, \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(\mathbb{R}^3)=3.
  • Aqui \dim(\operatorname{Im}(T))=2<3, portanto T não é sobrejetora.

Passo 9

Verificando o teorema do posto-nuloidade (rank-nullity):
  • Teorema: para uma transformação linear T:V\to W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T)).
  • No nosso caso V=\mathbb{R}^2 então \dim(V)=2. Já encontramos \dim(\ker(T))=0 e \dim(\operatorname{Im}(T))=2. Substituindo:
2 = 0 + 2,
que é verdade. Portanto o teorema da dimensão está verificado.

Resposta

(a) \ker(T)=\{(0,0)\}, \dim(\ker(T))=0. T é injetora.
(b) \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(2,1,1),\,(1,-1,4)\}, \dim(\operatorname{Im}(T))=2. T não é sobrejetora.
(c) Teorema da dimensão: \;2=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=0+2, verificado.

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