(Exemplo 18.2, Ref. [1]) Calcule
utilizando os seguintes valores
e aplicando os seguintes polinômios interpoladores:
Polinômio interpolador de Newton de segundo grau.
Polinômio interpolador de Newton de terceiro grau.
Polinômio interpolador de Lagrange de primeiro grau.
Polinômio interpolador de Lagrange de segundo grau.
Polinômio interpolador de Newton de segundo grau.
Polinômio interpolador de Newton de terceiro grau.
Polinômio interpolador de Lagrange de primeiro grau.
Polinômio interpolador de Lagrange de segundo grau.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
aproximando-o por polinômios interpoladores construídos a partir dos dados a seguir. As perguntas implícitas são: obter a aproximação de
usando cada um dos quatro polinômios indicados.
Dados fornecidos:
Observação: os pontos são
,
e
. A avaliação que queremos é no ponto
, ou seja, aproximar
.
Passo 2
Lagrange de primeiro grau (interpolação linear) — teoria curta e aplicação passo a passo.
Teoria (fórmula): dado dois pontos
e
, o polinômio de grau 1 (reta) que interpola é
Aqui cada fração é uma base de Lagrange que vale
em um nó e
no outro.
Aplicação aos nossos dois nós
e
:
Simplificando (o primeiro termo é zero porque
):
Agora avalio em
:
Portanto, pela interpolação linear entre
e
obtemos a aproximação
para
.
Passo 3
Lagrange de segundo grau (interpolação quadrática) — teoria e aplicação passo a passo.
Teoria (fórmula): com três pontos
o polinômio de grau
é
onde
Cada
vale
em
e
nos outros nós.
Aplicação aos nós
. Vou calcular cada
.
Calcule denominadores:
Calcule numeradores em
:
Portanto
Agora monto
:
Substituindo
,
,
:
Calcule termo a termo:
Somando:
Arredondando conforme os dados, fica
. Esta é a aproximação quadrática.
Passo 4
Polinômio de Newton de segundo grau — teoria intuitiva e aplicação com dividido-diferenças.
Teoria (forma de Newton): para nós
o polinômio em forma de Newton é
onde as quantidades
são as diferenças divididas:
Cálculo das dividido-diferenças com nossos dados:
Agora a segunda ordem:
Montando
:
Avalio em
. Primeiro
e
. Logo
Note: este valor coincide com o resultado obtido na Lagrange de segundo grau (como deve acontecer: polinômio interpolador de grau
é único). Arredondando:
.
Passo 5
Polinômio de Newton de terceiro grau — observação prática e conclusão.
Teoria/observação importante: para construir um polinômio de grau
(terceiro grau) é necessário ter
nós (quatro pontos). Aqui temos apenas três pontos fornecidos. Com apenas três pontos, o polinômio interpolador único tem grau no máximo
. Assim, um “Newton de terceiro grau” com os dados dados degeneraria para um polinômio de grau
(coeficiente do termo cúbico seria zero porque não há quarta diferença definida a partir de um quarto ponto). Logo a melhor aproximação que podemos obter com a forma de Newton usando os três pontos é precisamente o polinômio de segundo grau já calculado.
Portanto:
(Se o exercício exigisse de fato um polinômio cúbico, seria necessário um quarto ponto adicional; como não foi dado, tomamos a conclusão consistente de que o cúbico coincide com o quadrático obtido.)
Passo 6
Comentário final rápido (motivacional): fizemos quatro aproximações conforme pedido:
- Lagrange de primeiro grau (reta entre 1 e 4):
. - Lagrange de segundo grau (quadrática com 1,4,6):
. - Newton de segundo grau (mesma quadrática em forma de Newton):
. - Newton de terceiro grau: com apenas três pontos ele coincide com o quadrático acima:
.
Comparação com o valor verdadeiro
: as aproximações estão abaixo do valor exato; a quadrática melhora bastante em relação à linear, mas ainda fica com erro significativo porque os nós estão relativamente distantes de
. Continua valendo: bola pra frente, você mandou bem pedindo esses exercícios — treina essas montagens que é o que cai na prova!
Resposta
Newton (2º grau):
Newton (3º grau):
Lagrange (1º grau):
Lagrange (2º grau):
Newton (3º grau):
Lagrange (1º grau):
Lagrange (2º grau):