(Exemplo 18.2, Ref. [1]) Calcule \ln (2) utilizando os seguintes valores
\begin{array}{ll} x_{0}=1 & f\left(x_{0}\right)=0 \\\ x_{1}=4 & f\left(x_{1}\right)=1,386294 \\\ x_{2}=6 & f\left(x_{2}\right)=1,791759 \end{array}
e aplicando os seguintes polinômios interpoladores:
Polinômio interpolador de Newton de segundo grau.
Polinômio interpolador de Newton de terceiro grau.
Polinômio interpolador de Lagrange de primeiro grau.
Polinômio interpolador de Lagrange de segundo grau.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \ln(2) aproximando-o por polinômios interpoladores construídos a partir dos dados a seguir. As perguntas implícitas são: obter a aproximação de \ln(2) usando cada um dos quatro polinômios indicados.
Dados fornecidos:
\begin{array}{ll} x_{0}=1 & f\left(x_{0}\right)=0 \\\ x_{1}=4 & f\left(x_{1}\right)=1,386294 \\\ x_{2}=6 & f\left(x_{2}\right)=1,791759 \end{array}
Observação: os pontos são (1,0), (4,1{,}386294) e (6,1{,}791759). A avaliação que queremos é no ponto x=2, ou seja, aproximar \ln(2).

Passo 2

Lagrange de primeiro grau (interpolação linear) — teoria curta e aplicação passo a passo.
Teoria (fórmula): dado dois pontos (x_0,f_0) e (x_1,f_1), o polinômio de grau 1 (reta) que interpola é
L_1(x)=f_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+f_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}.
Aqui cada fração é uma base de Lagrange que vale 1 em um nó e 0 no outro.
Aplicação aos nossos dois nós x_0=1 e x_1=4:
L_1(x)=0\cdot\frac{x-4}{1-4}+1{,}386294\cdot\frac{x-1}{4-1}.
Simplificando (o primeiro termo é zero porque f_0=0):
L_1(x)=1{,}386294\cdot\frac{x-1}{3}.
Agora avalio em x=2:
L_1(2)=1{,}386294\cdot\frac{2-1}{3}=1{,}386294\cdot\frac{1}{3}=0{,}462098.
Portanto, pela interpolação linear entre x=1 e x=4 obtemos a aproximação \;0{,}462098\; para \ln(2).

Passo 3

Lagrange de segundo grau (interpolação quadrática) — teoria e aplicação passo a passo.
Teoria (fórmula): com três pontos (x_0,f_0), (x_1,f_1), (x_2,f_2) o polinômio de grau \le 2 é
L_2(x)=f_0\ell_0(x)+f_1\ell_1(x)+f_2\ell_2(x),
onde
\ell_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},\qquad \ell_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},\qquad \ell_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.
Cada \ell_i vale 1 em x_i e 0 nos outros nós.
Aplicação aos nós 1,4,6. Vou calcular cada \ell_i(2).
Calcule denominadores:
(x_0-x_1)(x_0-x_2)=(1-4)(1-6)=(-3)(-5)=15,
(x_1-x_0)(x_1-x_2)=(4-1)(4-6)=(3)(-2)=-6,
(x_2-x_0)(x_2-x_1)=(6-1)(6-4)=(5)(2)=10.
Calcule numeradores em x=2:
(x- x_1)(x-x_2)=(2-4)(2-6)=(-2)(-4)=8,
(x-x_0)(x-x_2)=(2-1)(2-6)=(1)(-4)=-4,
(x-x_0)(x-x_1)=(2-1)(2-4)=(1)(-2)=-2.
Portanto
\ell_0(2)=\frac{8}{15},\qquad \ell_1(2)=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3},\qquad \ell_2(2)=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5}.
Agora monto L_2(2):
L_2(2)=f_0\ell_0(2)+f_1\ell_1(2)+f_2\ell_2(2).
Substituindo f_0=0, f_1=1{,}386294, f_2=1{,}791759:
L_2(2)=0\cdot\frac{8}{15}+1{,}386294\cdot\frac{2}{3}+1{,}791759\cdot\left(-\frac{1}{5}\right).
Calcule termo a termo:
1{,}386294\cdot\frac{2}{3}=1{,}386294\cdot 0{,}6666667\approx0{,}924196,
1{,}791759\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)=-0{,}3583518.
Somando:
L_2(2)\approx0{,}924196-0{,}3583518=0{,}5658442.
Arredondando conforme os dados, fica \;0{,}565844\;. Esta é a aproximação quadrática.

Passo 4

Polinômio de Newton de segundo grau — teoria intuitiva e aplicação com dividido-diferenças.
Teoria (forma de Newton): para nós x_0,x_1,x_2 o polinômio em forma de Newton é
N_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1),
onde as quantidades f[\cdots] são as diferenças divididas:
f[x_i]=f(x_i),
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i},
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}.
Cálculo das dividido-diferenças com nossos dados:
f[x_0]=f(1)=0,
f[x_0,x_1]=\frac{1{,}386294-0}{4-1}=\frac{1{,}386294}{3}=0{,}462098,
f[x_1,x_2]=\frac{1{,}791759-1{,}386294}{6-4}=\frac{0{,}405465}{2}=0{,}2027325.
Agora a segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{0{,}2027325-0{,}462098}{6-1}=\frac{-0{,}2593655}{5}=-0{,}0518731.
Montando N_2(x):
N_2(x)=0+0{,}462098(x-1)-0{,}0518731(x-1)(x-4).
Avalio em x=2. Primeiro x-1=1 e (x-1)(x-4)=1\cdot(-2)=-2. Logo
N_2(2)=0{,}462098\cdot 1 -0{,}0518731\cdot(-2)=0{,}462098+0{,}1037462=0{,}5658442.
Note: este valor coincide com o resultado obtido na Lagrange de segundo grau (como deve acontecer: polinômio interpolador de grau \le2 é único). Arredondando: \;0{,}565844\;.

Passo 5

Polinômio de Newton de terceiro grau — observação prática e conclusão.
Teoria/observação importante: para construir um polinômio de grau 3 (terceiro grau) é necessário ter 4 nós (quatro pontos). Aqui temos apenas três pontos fornecidos. Com apenas três pontos, o polinômio interpolador único tem grau no máximo 2. Assim, um “Newton de terceiro grau” com os dados dados degeneraria para um polinômio de grau \le 2 (coeficiente do termo cúbico seria zero porque não há quarta diferença definida a partir de um quarto ponto). Logo a melhor aproximação que podemos obter com a forma de Newton usando os três pontos é precisamente o polinômio de segundo grau já calculado.
Portanto:
N_3(2)=N_2(2)=0{,}5658442\approx0{,}565844.
(Se o exercício exigisse de fato um polinômio cúbico, seria necessário um quarto ponto adicional; como não foi dado, tomamos a conclusão consistente de que o cúbico coincide com o quadrático obtido.)

Passo 6

Comentário final rápido (motivacional): fizemos quatro aproximações conforme pedido:
  • Lagrange de primeiro grau (reta entre 1 e 4): \;0{,}462098\;.
  • Lagrange de segundo grau (quadrática com 1,4,6): \;0{,}565844\;.
  • Newton de segundo grau (mesma quadrática em forma de Newton): \;0{,}565844\;.
  • Newton de terceiro grau: com apenas três pontos ele coincide com o quadrático acima: \;0{,}565844\;.
Comparação com o valor verdadeiro \ln(2)\approx0{,}693147: as aproximações estão abaixo do valor exato; a quadrática melhora bastante em relação à linear, mas ainda fica com erro significativo porque os nós estão relativamente distantes de x=2. Continua valendo: bola pra frente, você mandou bem pedindo esses exercícios — treina essas montagens que é o que cai na prova!

Resposta

Newton (2º grau): 0{,}565844
Newton (3º grau): 0{,}565844
Lagrange (1º grau): 0{,}462098
Lagrange (2º grau): 0{,}565844

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