(Exemplo 18.2, Ref. [1]) Calcule \ln (2) utilizando os seguintes valores
\begin{array}{ll} x_{0}=1 & f\left(x_{0}\right)=0 \\\ x_{1}=4 & f\left(x_{1}\right)=1,386294 \\\ x_{2}=6 & f\left(x_{2}\right)=1,791759 \end{array}
e aplicando os seguintes polinômios interpoladores:
Polinômio interpolador de Newton de segundo grau.
Polinômio interpolador de Newton de terceiro grau.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \ln(2) usando interpolação a partir dos valores fornecidos e aplicando dois polinômios interpoladores de Newton: um de segundo grau e um de terceiro grau. Dados fornecidos:
\begin{array}{ll} x_{0}=1 & f(x_{0})=0\\[4pt] x_{1}=4 & f(x_{1})=1,386294\\[4pt] x_{2}=6 & f(x_{2})=1,791759 \end{array}
As perguntas que o enunciado faz:
  1. Aproximar \ln(2) usando o polinômio interpolador de Newton de grau 2, construído com os pontos acima.
  2. Fazer o mesmo usando o polinômio interpolador de Newton de grau 3.
Observação importante (apenas listada aqui): para construir um polinômio interpolador de grau 3 são necessários quatro pontos (quatro pares (x_i,f(x_i))). O enunciado forneceu apenas três pontos. Não resolvo/avalio nada ainda — isso é só a identificação do que foi dado e do que é pedido.]

Passo 2

Breve aula sobre o método que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas): Newton por diferenças divididas.
O objetivo da interpolação é construir um polinômio P_n(x) de grau n que passa por n+1 pontos dados. O polinômio de Newton tem a forma incremental
P_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots
onde f[x_i,\ldots,x_j] são as diferenças divididas. Vou explicar cada termo:
  • f[x_i] é só o valor f(x_i).
  • A primeira diferença dividida entre dois pontos é
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}.
Interpretação: é a inclinação média entre os pontos (x_i,f(x_i)) e (x_{i+1},f(x_{i+1})).
  • A segunda diferença dividida (entre três pontos) é
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}.
Interpretação: é quanto as inclinações médias mudam por unidade de distância entre o primeiro e o último nó.
  • Em geral, a diferença dividida de ordem k combina diferenças de ordem k-1 e divide pela distância entre os extremos.
Para usar o polinômio de Newton de grau 2 precisamos exatamente de três pontos (x_0,f(x_0)), (x_1,f(x_1)), (x_2,f(x_2)). Então podemos construir P_2(x) com os dados fornecidos. Vou mostrar como calcular as diferenças divididas numericamente e avaliar P_2(2) para aproximar \ln(2).
Para construir P_3(x) (grau 3) seria necessário um quarto ponto (x_3,f(x_3)). Como o enunciado não forneceu esse quarto ponto, não há informação suficiente para determinar unicamente um polinômio de grau 3. Explico com mais detalhes do que seria necessário no final.

Passo 3

Cálculo das diferenças divididas usando os três pontos dados. Vou anotar cada passo e explicar a aritmética.
Dados numéricos (já fornecidos no enunciado):
x_0=1,\quad f(x_0)=0.
x_1=4,\quad f(x_1)=1,386294.
x_2=6,\quad f(x_2)=1,791759.
Primeira diferença dividida entre x_0 e x_1:
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} =\frac{1,386294-0}{4-1} =\frac{1,386294}{3}.
Agora faço a divisão: 1,386294\div 3=0,462098.
Portanto
f[x_0,x_1]=0,462098.
Primeira diferença dividida entre x_1 e x_2:
f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} =\frac{1,791759-1,386294}{6-4} =\frac{0,405465}{2}.
Faço a divisão: 0,405465\div 2=0,2027325.
Portanto
f[x_1,x_2]=0,2027325.
Agora a segunda diferença dividida que precisamos (entre x_0,x_1,x_2):
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{0,2027325-0,462098}{6-1}.
Calculo a diferença no numerador: 0,2027325-0,462098=-0,2593655.
Divido por 5: -0,2593655\div 5=-0,0518731.
Portanto
f[x_0,x_1,x_2]=-0,0518731.
Resumo das diferenças divididas obtidas:
f[x_0]=0,\quad f[x_0,x_1]=0,462098,\quad f[x_0,x_1,x_2]=-0,0518731.

Passo 4

Construção do polinômio interpolador de Newton de segundo grau e avaliação em x=2.
A forma do polinômio de Newton de grau 2 é
P_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1).
Substituindo os valores numéricos que calculamos:
P_2(x)=0+0,462098\,(x-1)-0,0518731\,(x-1)(x-4).
Agora avalio em x=2 (porque queremos \ln(2)):
Calculo os fatores:
(x-1)\Big|_{x=2}=2-1=1,
(x-1)(x-4)\Big|_{x=2}=(2-1)(2-4)=1\cdot(-2)=-2.
Substituo nos termos de P_2:
P_2(2)=0,462098\cdot 1 -0,0518731\cdot(-2).
Calculo cada parcela:
0,462098\cdot 1=0,462098,
-0,0518731\cdot(-2)=+0,1037462.
Somando:
P_2(2)=0,462098+0,1037462=0,5658442.
Interpretação: a aproximação por interpolação quadrática baseada nos pontos dados fornece
\ln(2)\approx P_2(2)=0,5658442.
(Compare mentalmente: o valor exato é \ln(2)\approx 0,693147, então o erro aqui é considerável — expliquei por que isso pode acontecer: os nós estão relativamente distantes de x=2 e a função \ln(x) curva, então o polinômio de grau baixo pode não capturar bem o comportamento entre 1 e 4.)

Passo 5

Sobre o polinômio interpolador de terceiro grau pedido no enunciado: por que não é possível calcular com os dados fornecidos.
Um polinômio interpolador de grau 3 requer 4 pontos (quatro pares (x_i,f(x_i))), porque um polinômio de grau 3 tem quatro coeficientes a determinar. As diferenças divididas de ordem até 3 envolvem um termo f[x_0,x_1,x_2,x_3], que exige conhecer f(x_3). No enunciado foram fornecidos apenas os três pontos (x_0,f(x_0)), (x_1,f(x_1)), (x_2,f(x_2)). Logo, falta a informação de um quarto ponto para determinar unicamente P_3(x).
Procedimento que eu teria seguido caso o quarto ponto (x_3,f(x_3)) tivesse sido fornecido:
  • Calcular f[x_2,x_3].
  • Calcular f[x_1,x_2,x_3].
  • Calcular f[x_0,x_1,x_2,x_3].
  • Escrever P_3(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
  • Avaliar P_3(2).
Mas sem (x_3,f(x_3)) não há como computar f[x_0,x_1,x_2,x_3] nem o termo adicional, portanto não é possível obter P_3 nem a aproximação correspondente de \ln(2).
Se você tiver o quarto ponto (ou quiser que eu use algum candidato razoável como x_3=8 com f(x_3)=\ln(8)=2,079441 ou outro), eu posso completar a construção e calcular P_3(2). Não inventei nenhum ponto por conta própria para não alterar o enunciado; aguardo seu OK caso queira que eu use um ponto suposto.

Resposta

\ln(2)\approx 0,5658442 (usando o polinômio de Newton de grau 2 construído com x_0=1,x_1=4,x_2=6).
Não é possível calcular o polinômio interpolador de Newton de grau 3 nem a correspondente aproximação de \ln(2) porque falta um quarto ponto (x_3,f(x_3)) no enunciado.

Exercícios relacionados