(Exemplo 18.2, Ref. [1]) Calcule \ln (2) utilizando os seguintes valores
\begin{array}{ll} x_{0}=1 & f\left(x_{0}\right)=0 \\\ x_{1}=4 & f\left(x_{1}\right)=1,386294 \\\ x_{2}=6 & f\left(x_{2}\right)=1,791759 \end{array}
e aplicando os seguintes polinômios interpoladores:
Polinômio interpolador de Newton de segundo grau.
Polinômio interpolador de Newton de terceiro grau.
Polinômio interpolador de Lagrange de primeiro grau.

Passo 1

O enunciado fornece três pontos e pede aproximações de \ln(2) usando três polinômios:
\begin{array}{ll} x_{0}=1 & f(x_{0})=0\\[4pt] x_{1}=4 & f(x_{1})=1,386294\\[4pt] x_{2}=6 & f(x_{2})=1,791759 \end{array}
As perguntas listadas são:
  1. Calcular \ln(2) usando o polinômio interpolador de Newton de segundo grau (isto é, grau \le 2, usando os três pontos dados).
  2. Calcular \ln(2) usando o polinômio interpolador de Newton de terceiro grau.
  3. Calcular \ln(2) usando o polinômio interpolador de Lagrange de primeiro grau.
Observação importante: para construir um polinômio interpolador de Newton de terceiro grau (grau 3) é necessário ter quatro pontos distintos. Aqui temos apenas três pontos. Portanto, não é possível obter um polinômio de grau 3 distinto usando só os dados fornecidos. Vou proceder com os dois casos possíveis (Newton de grau \le2 com os três pontos e Lagrange de grau 1 com dois pontos) e, para o caso do Newton de grau 3, explicarei por que não é possível com os dados dados.]

Passo 2

(Ensinando e aplicando a interpolação de Lagrange de primeiro grau — linear)
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 1 que interpola em dois pontos (x_0,f_0) e (x_1,f_1) é
P_{1}(x)=f_{0}\,\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}+f_{1}\,\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}.
Aqui irei usar os pontos (x_{0},f_{0})=(1,0) e (x_{1},f_{1})=(4,1,386294). Para avaliar em x=2 (que é o que queremos para \ln(2)):
Calcule os fatores:
\frac{2-4}{1-4}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3},\qquad \frac{2-1}{4-1}=\frac{1}{3}.
Agora substituímos:
P_{1}(2)=0\cdot\frac{2}{3}+1,386294\cdot\frac{1}{3}= \frac{1,386294}{3}.
Fazendo a divisão (mantendo 6 casas decimais, como os dados fornecidos):
P_{1}(2)=0,462098.
Então a aproximação linear (Lagrange de grau 1) para \ln(2) é \;0,462098.

Passo 3

(Ensinando o método de Newton com diferenças divididas e construindo o polinômio de grau 2)
A forma de Newton para o polinômio interpolador com nós x_{0},x_{1},x_{2} é
P_{2}(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]\,(x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}]\,(x-x_{0})(x-x_{1}),
onde f[x_{i}] são os valores dados e f[\cdots] são as diferenças divididas definidas recursivamente por
f[x_{i},x_{j}]=\frac{f[x_{j}]-f[x_{i}]}{x_{j}-x_{i}},\qquad f[x_{i},x_{j},x_{k}]=\frac{f[x_{j},x_{k}]-f[x_{i},x_{j}]}{x_{k}-x_{i}}.
Vamos calcular as diferenças divididas com os nossos dados.
Valores iniciais:
f[x_{0}]=f(1)=0,\qquad f[x_{1}]=f(4)=1,386294,\qquad f[x_{2}]=f(6)=1,791759.
Primeiras diferenças divididas:
f[x_{0},x_{1}]=\frac{1,386294-0}{4-1}=\frac{1,386294}{3}=0,462098,
f[x_{1},x_{2}]=\frac{1,791759-1,386294}{6-4}=\frac{0,405465}{2}=0,2027325.
Segunda diferença dividida:
f[x_{0},x_{1},x_{2}]=\frac{0,2027325-0,462098}{6-1}=\frac{-0,2593655}{5}=-0,0518731.
Agora montamos P_{2}(x):
P_{2}(x)=0+0,462098\,(x-1)-0,0518731\,(x-1)(x-4).

Passo 4

(Avaliação do polinômio de Newton de grau 2 em x=2)
Vamos avaliar cada termo em x=2:
Termo linear:
0,462098\,(2-1)=0,462098.
Termo quadrático:
-0,0518731\,(2-1)(2-4)=-0,0518731\cdot 1\cdot(-2)=+0,1037462.
Somando:
P_{2}(2)=0,462098+0,1037462=0,5658442.
Arredondando para 6 casas decimais (consistente com os dados originais):
P_{2}(2)=0,565844.
Portanto a aproximação pelo polinômio de Newton de segundo grau é \;0,565844.

Passo 5

(Comentário sobre o polinômio de Newton de terceiro grau)
Um polinômio interpolador de Newton de terceiro grau exige quatro pontos distintos (x_{0},f_{0}),\dots,(x_{3},f_{3}) para determinar unicamente os coeficientes até a diferença dividida de ordem 3. Como o enunciado fornece somente três pontos, não há informação suficiente para construir um polinômio de grau 3 diferente do polinômio de grau \le2 já obtido. Portanto é impossível calcular um polinômio de Newton de terceiro grau (e avaliar nele \ln(2)) com os dados fornecidos sem acrescentar um quarto ponto.

Resposta

Polinômio de Newton de segundo grau: \ln(2)\approx 0,565844
Polinômio de Newton de terceiro grau: impossível com os dados fornecidos (faltam 4º ponto)
Polinômio de Lagrange de primeiro grau: \ln(2)\approx 0,462098

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