(Exemplo 18.2, Ref. [1]) Calcule
utilizando os seguintes valores
e aplicando os seguintes polinômios interpoladores:
Polinômio interpolador de Newton de segundo grau.
Polinômio interpolador de Newton de terceiro grau.
Polinômio interpolador de Lagrange de primeiro grau.
Polinômio interpolador de Newton de segundo grau.
Polinômio interpolador de Newton de terceiro grau.
Polinômio interpolador de Lagrange de primeiro grau.
Passo 1
O enunciado fornece três pontos e pede aproximações de
usando três polinômios:
As perguntas listadas são:
- Calcular
usando o polinômio interpolador de Newton de segundo grau (isto é, grau , usando os três pontos dados). - Calcular
usando o polinômio interpolador de Newton de terceiro grau. - Calcular
usando o polinômio interpolador de Lagrange de primeiro grau.
Observação importante: para construir um polinômio interpolador de Newton de terceiro grau (grau
) é necessário ter quatro pontos distintos. Aqui temos apenas três pontos. Portanto, não é possível obter um polinômio de grau
distinto usando só os dados fornecidos. Vou proceder com os dois casos possíveis (Newton de grau
com os três pontos e Lagrange de grau
com dois pontos) e, para o caso do Newton de grau
, explicarei por que não é possível com os dados dados.]
Passo 2
(Ensinando e aplicando a interpolação de Lagrange de primeiro grau — linear)
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau que interpola em dois pontos
e
é
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau
Aqui irei usar os pontos
e
. Para avaliar em
(que é o que queremos para
):
Calcule os fatores:
Calcule os fatores:
Agora substituímos:
Fazendo a divisão (mantendo 6 casas decimais, como os dados fornecidos):
Então a aproximação linear (Lagrange de grau
) para
é
.
Passo 3
(Ensinando o método de Newton com diferenças divididas e construindo o polinômio de grau 2)
A forma de Newton para o polinômio interpolador com nós é
A forma de Newton para o polinômio interpolador com nós
onde
são os valores dados e
são as diferenças divididas definidas recursivamente por
Vamos calcular as diferenças divididas com os nossos dados.
Valores iniciais:
Primeiras diferenças divididas:
Segunda diferença dividida:
Agora montamos
:
Passo 4
(Avaliação do polinômio de Newton de grau 2 em
)
Vamos avaliar cada termo em :
Vamos avaliar cada termo em
Termo linear:
Termo quadrático:
Somando:
Arredondando para 6 casas decimais (consistente com os dados originais):
Portanto a aproximação pelo polinômio de Newton de segundo grau é
.
Passo 5
(Comentário sobre o polinômio de Newton de terceiro grau)
Um polinômio interpolador de Newton de terceiro grau exige quatro pontos distintos para determinar unicamente os coeficientes até a diferença dividida de ordem
. Como o enunciado fornece somente três pontos, não há informação suficiente para construir um polinômio de grau
diferente do polinômio de grau
já obtido. Portanto é impossível calcular um polinômio de Newton de terceiro grau (e avaliar nele
) com os dados fornecidos sem acrescentar um quarto ponto.
Um polinômio interpolador de Newton de terceiro grau exige quatro pontos distintos
Resposta
Polinômio de Newton de segundo grau:
Polinômio de Newton de terceiro grau: impossível com os dados fornecidos (faltam º ponto)
Polinômio de Lagrange de primeiro grau:
Polinômio de Newton de terceiro grau: impossível com os dados fornecidos (faltam
Polinômio de Lagrange de primeiro grau: