Exemplo 1.19. Vamos calcular a área do conjunto limitado pela curva y= x^{2}, o eixo x e a reta x=3.

Passo 1

O enunciado nos pede a área do conjunto em \mathbb{R}^2 limitado pela curva y = x^2, pelo eixo x (isto é, y=0) e pela reta vertical x = 3. Esse problema envolve cálculo de área sob a curva por meio de integral definida.

Passo 2

Visualizamos a região como a área sob o gráfico de y = x^2 entre x = 0 e x = 3. Assim, a área A é dada por
A = \int_{0}^{3} x^2 \, dx

Passo 3

Para calcular a integral, encontramos uma primitiva de x^2. Uma antiderivada é
F(x) = \frac{x^3}{3}

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a primitiva nos limites:
A = F(3) - F(0) = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} = 9

Resposta

9

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